08函数的奇偶性与周期性

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一、函数的奇偶性1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 若对于函数 偶函数. 称 f(x) 为偶函数 2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 若对于函数 奇函数. 称 f(x) 为奇函数 3.若函数 f(x) 不具有上述性质 则称 f(x) 不具有奇偶性 若 不具有上述性质, 不具有奇偶性; 若 函数同时具有上述两条性质, 既是奇函数, 又是偶函数. 函数同时具有上述两条性质 则 f(x) 既是奇函数 又是偶函数 关于原点对称) 既奇又偶函数. 例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数 ( 关于原点对称

二、简单性质

研究半个区间！ 研究半个区间！

1.奇函数的图象关于原点对称 奇函数的图象关于原点对称, 奇函数的图象关于原点对称 反之成立！ 反之成立！ 对称. 偶函数的图象关于 y 轴对称 2.单调性 单调性: 单调性 3.奇函数 f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数 f(x)=f(|x|). 奇函数: 奇函数 ( 在定义域中) 偶函数:

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三、函数奇偶性的判定方法1.根据定义判定 根据定义判定: 根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称, 原点对称, 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数 是非奇非偶函数; 若对称, 是非奇非偶函数 若对称 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 比较困难, 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难 可考虑判定 f(-x) ± f(x)=0 ± f(x) 或判定 f(-x) =±1. ± 2.利用定理, 借助函数的图象判定: 2.利用定理, 借助函数的图象判定: 利用定理 3.性质法判定 在公共定义域内 性质法判定: 性质法判定 在公共定义域内, 两奇函数之积( 为偶函数; 两奇函数之积(商)为偶函数 两偶函数之积( 也为偶函数; 两偶函数之积(商)也为偶函数 一奇一偶函数之积( 为奇函数. 一奇一偶函数之积(商)为奇函数 注意取商时分母不为零!) (注意取商时分母不为零!)

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五、典型例题

如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 周期函数, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数 T 为函数的一个周 的周期中, 期. 若f(x)的周期中 存在一个最小的正数 则称它为函数的最小 的周期中 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小 正周期. 正周期 若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(ωx)(ω≠0) 也为周 期函数, 期函数 且最小正周期为 T . |ω| 1.判断下列函数的奇偶性： 判断下列函数的奇偶性： 判断下列函数的奇偶性 (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (1) f(x)= 2x ; 偶函数 奇函数 1+x 2 + x2-1 +1); (3) f(x)=log2( 1-x (4) f(x)=(1-x) 1-x ; 既奇又偶函数 非奇非偶函数 lg(1-x2) 1 1 ). (5) f(x)= ; 奇函数 (6) f(x)=x( 3x-1 + 2 偶函数 |x+3|-3 -

四、函数的周期性

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2.(1)设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 判断下列函数的奇 设

函数 的定义域关于原点对称, 偶性: 偶性 ①F(x)= 1 [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= 1 [f(x)-f(-x)]; 2 2 偶函数 奇函数 (2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 试将函数 y= 1 (2x-2-x)+ 1 (2x+2-x) 2 2 3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数 若f(x)-g(x)=( 1 )x, 比 分别为奇函数和偶函数, 设 与 分别为奇函数和偶函数 2 1 (2-x 2x), g(x)= 1(2-x+2x). 的大小. 较 f(1)、g(0)、g(-2) 的大小 f(x)= 、 、 2 2 f(1)>g(0)>g(-2) 4.设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 且满足 ① 存在正常 的定义域关于原点对称, 且满足: 设函数 f(x1)f(x2)+1 . 求证 (1) f(x) 是奇函 求证: 数 a, 使 f(a)=1; ② f(x1- x2)= f(x2)-f(x1) 是周期函数, 数; (2) f(x) 是周期函数 并且有一个周期为 4a. f(a+x)=12 , f(2a+x)=- 1 , f(4a+x)=f(x). f(x)+1 f(x)

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5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x) 已知定义在 是偶函数, 是偶函数 当 x∈[0, 2]时, f(x)=2x-1, 求 x∈[-4, 0]时 f(x) 的表 ] ] 2x+7 ≤达式. 达式 f(x)= -2x-1 (-4≤x≤0)2) - (-2<x 6.若对任意的 x∈R, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(b+x)=f(b-x), 其 若对任意的 为周期的周期函数. 中 b>a. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数 7.若对任意的 x∈R, 都有 f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2b-x)=2c, 其 若对任意的 为周期的周期函数. 中 a≠b. 则 f(x) 是以 4(a-b) 为周期的周期函数 ≠ 8.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的 已知 上的不恒为零的函数, a, b∈R 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值 (2)判断 都满足: 的值; 求 判断 f(x) 的奇偶性 并证明你的结论 0, 0, f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数 的奇偶性, 并证明你的结论. 9.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数 且对于任意的 a, b∈R 都 已知 上的函数, 满足: 求证: 是偶函数; 满足 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0)≠0. (1)求证 f(x)是偶函数 ≠ 求证 是偶函数 (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T≠0) 若存在正数 ≠ 考虑 的值. 的值 (1)f(0)=1, f(-b)=f(b), (2)考虑 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m).

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课堂练习1.设 f(x)(x∈R)是以 3 为周期的奇函数 且 f(1)>1, f(2)=a, 设 为周期的奇函数, ( ) 则( D ) A. a>2 B. a<-2 C. a>1 D. a<-1 2.已知奇函数 f(x) 在 x>0 时的表达式为 f(x)=2x - 1 , 则当 已知奇函数 2 1 时有 x<- 4 时有( B ) A. f(x)>0 B. f(x)<0 C. f(x)+f(-x)<0 D. f(x)+f(-x)>0 4- x2 3.函数 f(x)= |x-2| 的奇偶性是 C ) 的奇偶性是( 函数 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 既是奇函数又是偶函数 4.已知 y=f(x-1) 是偶函数 则 y=f(x) 的图象关于 A ) 已知 是偶函数, 的图象关于( A.直线 x+1=0 对称 直线 B.直线 x-1=0 对称 直线 C.直线 x- 1 =0 对称 D. y 轴对称 直线 2

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5.奇函数 f(x) 在[3, 7]上是增函数 在[3,

6]上的最大值为 8, 奇函数 ]上是增函数, ] 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为 D ) - 的值为( A. 5 B. -5 C. -13 D. -15 6.奇函数 f(x) 在[-1, 0]上是减函数 α, β 是锐角三角形的两 奇函数 ]上是减函数, 个内角, 则下列不等式中正确的是( 个内角 且 α≠β, 则下列不等式中正确的是 D ) A. f(cosα)>f(cosβ) B. f(sinα)>f(sinβ) C. f(cosα)<f(cosβ) D. f(sinα)<f(cosβ) α 7.已知 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称 又关于点 (m, n) 对称 对称, 对称, 已知 为周期的周期函数. 其中 m≠a. 求证 f(x) 是以 4(a-m) 为周期的周期函数 ≠ 由已知, 证: 由已知 f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2m-x)=2n, ∴ f[4(a-m)+x]=f[2a-(4m-2a-x)] - =f(4m-2a-x)=f[2m-(2a+x-2m)] - =2n-f(2a+x-2m)=2n-f[2a-(2m-x)] =2n-f(2m-x)=2n-[ …… 此处隐藏：2695字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……