【数学】2.2.1全国优质课一等奖《综合法和分析法(1)》课件(人教A

2.2.1

综合法和分析法(1)

复习推 理合情推理(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.

例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

证明:因为b2+c2

≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

例：在△ABC中，三个内角A、B、C对应 的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差 数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为 等边三角形.

2.2.1

综合法和分析法(2)

复习一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法。

特点:“由因导果”

a+b 回顾基本不等式： 2

ab

(a>0,b>0)的证明.证明: 因为;( a b ) 02

a+b 证明:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab

所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 aba+b ab 成立 所以 2

只需证;a + b 2 ab 02 ( a b ) 0 只需证;

因为;( a b )2 0 成立

a+b 所以 2

ab成立

一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止，这种证明的 方法叫做分析法.

特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.Q P1

P1 P2

P2 P3

…

得到一个明显 成立的结论

π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β2

证: 求Q P1

1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)P1 P2 P2 P3

2

2

…

得到一个明显 成立的结论

也可以是经过 证明的结论