排列、组合与二项式定理答案

排列、组合与二项式定理(理)

1、答案 C 解析 使电路接通，左边两个开关的开闭方式有22－1＝3(种)，右边三个开关的开闭方式有23－1＝7(种)，故使电路接通的情况有3×7＝21(种)．

2、答案 B 解析 设第r ＋1项为常数项．由二项式定理可得T r ＋1＝C r 2n x 2n －r ???

?－1x x r ＝C r 2n (－1)r x 4n －5r

2 .令4n －5r 2

＝0. 得r ＝45

n ，且r ∈N ，结合选项，n 可能取10.故选B. 3、答案C 解析 lg a －lg b ＝lg a b ，问题转化为a b

的值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18(个)． 4、答案 C 解析 依题意，就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人，满足题意的不同的演讲顺序的种

数为C 12·C 36·

A 44＝960；第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为C 22·C 26·A 22·A 23＝180，因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为

C 22·C 26·A 22·A 23＝180，因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960＋180＝1 140，选C.

5、答案 C 解析 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，

(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h 4y h ，

∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h ，

∴f (m ，n )＝C m 6C n 4.

∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.

6、答案 C 解析 每条面对角线与4条与之异面的面对角线所成的角为60°，每个面有2条面对角线，共6个面，共有48对“黄金异面直线对”，因为每对无顺序，所以每对都重复一次，故共有24对．

7、答案 －20 解析 (x ＋y )8的通项公式为T r ＋1＝C r 8x

8－

r y r (r ＝0,1，…，8，r ∈Z )．当r ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7，当r ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6，所以(x －y )(x ＋y )8的展开式中含x 2y 7

的项为x ·8xy 7－y ·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故系数为－20. 8、答案 36 解析 先分组，再分配．共有两种分组情况：2,2,1和3,1,1.①若分成2,2,1三

组，共有C 13A 33＝18种分法；②若分成3,1,1三组，共有C 13A 33＝18种分法．由分类计数原理

知，共有18＋18＝36种分法．

9、答案 1 080 解析 先将6位志愿者分组，共有C 26·C 24A 22种方法；再把各组分到不同场馆，共有A 44种方法．由乘法原理知，不同的分配方案共有C 26C 24A 22

·A 44＝1 080. 10、答案 C 解析 令x ＝－1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28 ①

令x ＝－3，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12＝0 ②

①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28，

∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，

∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.

11、答案 B 解析 利用反证法解决实际问题．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．

12、答案 A 解析 运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法)解决．由题意可知：5个无区别的红球取出若干球可表示为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1＋b 5；5个有区别的黑球取出若干球可表示为(1＋c )(1＋c )(1＋c )(1＋c )(1＋c )＝(1＋c )5.由乘法原理可得所有取法可表示为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)·(1＋c )5.故选A.

13、解 由已知条件：

C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12

， 解得n ＝8(n ＝1，不合题意，舍去)．

(1)T r ＋1＝C r 8(x )8－r ? ??

??124x r ＝C r 8·2－r ·x 4－34r ， 令4－34

r ＝1，得r ＝4， ∴x 的一次幂的项为T 4＋1＝C 48·2－4·x ＝358

x . (2)令4－34

r ∈N (r ≤8)， 则只有当r ＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：

T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2

.

14、解 (1)由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12

n (n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.

(2)T r ＋1＝C r 15(3x )r ，由题意得，设第r ＋1项系数最大，则?????

C r －1153r －1≤C r 153r ，C r ＋1153r ＋1≤C r 153r . ∴11≤r ≤12.

所以展开式中系数最大的项对应的r ＝11、12，即展开式中系数最大的项是T 12＝C 1115(3x )11

和T 13＝C 1215(3x )12.

15、解 (1)由于甲组和乙组各有10名工人，所以按分层抽样抽取样本4人，甲、乙两组各有2人被抽取．

(2)设A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P (A )＝C 14C 16C 210＝815

. (3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.

B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2.

B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．

A i 与

B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0.

故P (B )＝P (A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0)

＝P (A 0)·P (B 2)＋P (A 1)·P (B 1)＋P (A 2)·P (B 0)

＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 14C 210＋C 26C 210·C 26C 210＝3175

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