初等数论复习题题库及答案

《初等数论》本科

一 填空题（每空2分）

1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.设a,b是任意两个不为零的整数,则(ab,)? 1 . (a,b)(a,b)3.若a,b是非零整数,则a与b互素的充要条件是存在整数x,y,适ax?by?1

4.写出180的标准分解式是 22?32?5 ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.设a与b是正整数,则在1,2,a,a中能被b整除的整数恰有 [] 个.

b6.设a,b是非零整数,c是整数,方程ax?by?c有整数解(x,y)的充要条件是 (a,b)|c 7. 若整数集合A是模m的完全剩余系,则A中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .

9.当p素数时,(1)?(p)? p?1 ;(2)?(pk)? pk?pk?1 . 10.设m是正整数,(a,m)?1,则a?(m)?1? 0 (momd ).11.设p是素数,则对于任意的整数a,有ap?a? 0 (modp ).12.已知2x?3?5(mod7),则x? 1 (mod7. )13.同余方程x2?2(mod7)的解是 4(mod7) . 14.同余方程3x2?10x?12?0(mod9)的解是 .X=6. . 15.若(n,p)?1,n是模p的二次剩余的充要条件是 n16.若(n,p)?1,n是模p的二次非剩余的充要条件是 n3417.()= -1 ; ()= 1 . 55218.设p是奇素数,则()? (?pp2?11)8p-12p-12?1(modp). . ??1(modp). .

. .

p-11-119.设p是奇素数,则()? 1 ;()? (-1)2. . pp5220. ()= 1 ; ()= -1 .

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二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. a|b且a|c?对任意的x,y?Z有a|bx?cy.成立 2. 若(a,b)?(a,c),则[a,b]?[a,c].不成立

3. 若a|b,则a|b.不成立

234.a?b(modm),k?0,k?N?ak?bk(modmk). 成立 5.ac?bc(modm)?a?b(modm). 不成立

226. 若a?b(modm),则a?b(modm)或a??b(modm)至少有一个成立. 不成立 2227. 若a?b(modm),则a?b(modm).不成立

8. 若x通过模m的完全剩余系,则x?b(b是整数)通过模m的完全剩余系. 成立 9. 若{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系.不成立

则{a1?b1,a2?b2,,am?bm}也是模m的完全剩余系.不成立

10.若(a,m)?1,x通过模m的简化剩余系,则ax?b也通过模m的简化剩余系. 不成立 11.若m1,m2?N,(m1,m2)?1,则?(m1m2)??(m1)?(m2). 成立

2212. 同余方程4x?3x?3?0(mod15)和同余方程4x?12x?12?0(mod15)是同解的. 成立

13. 同余方程ax?b(modm)等价于不定方程ax?my?b.成立

a14. 当m是奇素数时,若x2?a(modm)有解,则()?1.成立

ma215. 当m不是奇素数时,若()?1,则方程x?a(modm)一定有解.不成立

m

三 计算题

1. 求(?1859,1573).（6分）

解：

1.(?1859,1573)?(1859,1573)?(286,1573)

?(286,1573?286?5)?(286,143)?(0,143)?1432.求 [-36,108,204].（8分）

2.[?36,108,204]?[36,108,204],解：36?22?32,108?22?33,204?22?3?17,

?[36,108,204]?22?33?17?1836.3. 求(125,17),以及x,y,使得125x+17y=(125,17).（10分）

3.由等式6?5?1起逐步回代,得解：

1?6-5?6-(17-2?6)?3?6-17?3?(125-17?7)-17?3?125-22?17.?125?3-17?22?1,x?3,y?-22.

4. 求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162).（10分）

4.由等式9?4?2?1起逐步回代,得1?9-4?2?9-4?(11-9)?5?9-4?11?5?(20-11)-4?11?5?20-9?11?5?20-9?(71?3?20)?32?20?9?71解：

?32?(91-71)?9?71?32?91?41?71?32?91?41?(162?91)?73?91?41?162?73?(1387?8?162)?41?162

?73?1387?625?162.?1387?73?162?625?1.5. 分解12!为质因数乘积.（8分）

6. 求最大的正整数k,使10k|199!.（8分） 7. 求[1?11??23?1].(10分) 1008. 求方程8x?17y?43的整数解.(6分)

9. 求方程19x?20y?1909的正整数解.(10分)

10. 求方程111x-321y=75的整数解.(10分) 11. 求方程15x1?10x2?6x3?61的整数解.(8分) 12. 求不定方程3x?6y?12z?15的整数解.(8分)

13. 求不定方程x?2y?3z?7的所有正整数解.(8分)

14. 将19写成三个分数之和,它们的分母分别是2,3和5.(10分) 3015. 求方程x2y?2x2?3y?7?0的整数解.(6分) 16. 求方程x3?y3?1072的整数解.(8分)

17. 求方程5(xy?yz?zx)?4xyz的正整数解.(10分)

18. 求3的个位数字与最后两位数字(十进制).(10分) 19. 解同余方程6x?7(mod23).(8分) 20. 解同余方程12x?15?0(mod45).(8分)

406?x?2(mod3)?21. 解同余式组?x?3(mod5).(6分)

?x?2(mod7)?22. 解同余式f(x)?0(mod35),f(x)?x?2x?8x?9.(10分)

4323. 解同余方程:x?2x?7x?x?2?0(mod5).(6分)

76524. 求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.(8分)

25. 判断方程x?5(mod11)有没有解.(6分)

226. 已知563是素数,判定方程x2?429(mod563)是否有解.(8分) 27. 求以3为其二次剩余的全体素数.(8分)

28. 计算:(1)(10173);(2)().(8分) 152129. 计算?(300).(6分)

?x?3(mod8)?30. 解同余式组?x?11(mod20).(10分)

?x?1(mod15)?

四 证明题

1、设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得ax?by?1.求证:若a|n,b|n,则ab|n.(6分)

1.n?n(ax?by)?nax?nby又 ab|na,ab|nb证明：

?abn.2.设a1,a2,,an是整数,且a1?a2??an?0,a1a2an?n.则4|n.(8分)

2.若n是奇数,则n,a1,a2,即在a1,a2,由a2?a3??在a1,a2,,an都是奇数,则a1?a2??an?0不可能,?2n.,an中至少有一个偶数.如果只有一个偶数,不妨设为a1,则2不证明：整除ai(2?i?n).?an?-a1知,左边是(n-1)个奇数的和,右边是偶数,这是不可能的.,an中至少有两个偶数,即4n.

3. 任给的五个整数中,必有三个数之和被3整除.(8分)

3.设ai?3qi?ri,0?ri?3,i?1,2,3,4,5.证明：(1)若在ri中数0,1,2都出现,不妨设r1?0,r2?1,r3?2,则a1?a2?a3?3(q1?q2?q3)?3成立.(2)若在ri中数0,1,2至少有一个不出现,则至少有三个ri取相同的值,令r1?r2?r3?r(r?0,1或2),则a1?a2?a3?3(q1?q2?q3)?3r成立.4. 设a,b是整数,且9|a?ab?b,则3|(a,b).(8分)

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4.9a2?ab?b2,?9(a?b)2?3ab,?3(a?b)2?3ab,?3(a?b)2,?3a?b,?9(a?b)2,?93ab,?3ab,?3a或3b.证明：若3a,3a?b,?3b.若3b.3a?b,?3a.故3(a,b).5. 设a,b是正整数,证明(a?b)[a,b]?a[b,a?b].(8分)

abb(a?b)?a?,(a,b)(a,b)b(a?b)?[b,a?b](b,a?b),而(b,a?b)?(a,b),证明：

?b(a?b)?[b,a?b](a,b),b(a?b)即?[b,a?b],?结论成立(a,b)5.(a?b)[a,b]?(a?b)?6. 当a?b(modm)时,又n?0,n?N,则a?b(modm).(6分)

nn6.a?b(modm),?ma?b,证明：又an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2??bn?1),

?man?bn,即an?bn(modm).7. 设A?{x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系,以{x}表示x的小数部分.

m证明:若(a,m)?1,则?{i?1axi?b1}?(m-1).(10分) m27.由定理2知,{ax1?b,ax2?b,证明：可设axi?b?km?j(1?j?m),m,axm?b}也是模m的一个完全剩余系,

mmaxi?bjjm?1jm?1j1m(m?1)m?1从而?{}??{k?}??{}??{}?????.mmj?1mj?1mj?1mm22i?1j?1

8. 设n?N,证明:?(n)?1n的充要条件是n?2k,k?N.(10分) 21n8.?若n?2k,则?(2k)?2k(1-)?2k-1?.22n?若?(n)?,设n?2kt,2?|t,2n1k?(t)n?(t)kkk-1??, 证明：则??(n)??(2t)??(2)?(t)?2?(t)??2t?22t2t即?(t)?t,?t?1,从而得证.(注?(n)?1?n?1或2)9. 设n?N,则5?|1n?2n?3n?4n?4n.(10分)