高等数学竞赛模拟试题1-2答案

高等数学竞赛试题(一)答案

一、填空：（本题12分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

?1?esinx,x?0,?x1．若f?x???arctan2是???,???上的连续函数，则a = －1 。

?ae2x?1,x?0,?2．函数y?x?2sinx在区间?3．

2?????3 。 ,??上的最大值为3?2???x?x?e2?2?xdx?2?6e?2 。

4．设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xez?y?x?2所确定，则

1??x-1?ez?y?xdz?dx?dy 。 z?y?x1?xe二、选择题：（本题12分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 设函数f (x)可导，并且f??x0??5，则当?x?0时，该函数在点x0处微分dy是?y的（ A ）

（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小； （C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。

2． 设函数f (x)在点x = a处可导，则f?x?在点x = a处不可导的充要条件是（ C ） （A）f (a) = 0，且f??a??0； （B）f (a)≠0，但f??a??0； （C）f (a) = 0，且f??a??0； （D）f (a)≠0，且f??a??0。 3． 曲线y?x?x2?x?1（ B ）

（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；

（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。

4． 设f?x,y?与??x,y?均为可微函数，且??y?x,y??0。已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）

（A）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0； （B）若fx??x0,y0??0，则

fy??x0,y0??0；

1

（C）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0； （D）若fx??x0,y0??0，则

fy??x0,y0??0。

三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且limx?0f?x?f?x????0，f???0??4，求lim?1?。?x?0xx??1x（本题9分）

解：由题设可推知f (0) = 0，f??0??0，于是有

limx?0f?x?f??x?f???x??lim?lim?2。 2x?0x?02x2xxf?x?f?x?故

?f?x??f?x?????lim?1??lim1???x?0x?0?x?x??????

1x?????x2x??f?x??f?x???f?x???limexp?2ln?1??e2。 ??x?0x?x??????x?1?2t2,2dy?u四、设函数y?y?x?由参数方程?所确定，求。（本??t?11?2lnte2x?9dxdu,?y??1u?dxdye1?2lnt22etdye?4t，得到????解：由，，所以

dt1?2lntt1?2lntdtdx2?1?2lnt?题9分）

2e?1d2yd?dy?1d?e1et??。 ???????????22?4t2??21?2lnt4tdx2dt?dx?dxdt?2?1?2lnt?4t?1?2lnt???dt而当x = 9时，由x?1?2t及t > 1，得t = 2，故

2d2yee。 ????222t?2dx2x?94t?1?2lnt?16?1?2ln2?五、设n为自然数，计算积分In??π20sin?2n?1?xdx。（本题9分）

sinx解：注意到：对于每个固定的n，总有

limsin?2n?1?x?2n?1，

x?0sinx所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx，

于是有

2

In?In?1??π20?sin?2n?1?x?sin?2n?1?x12dx?2?cos2nxdx?sin2nx2?0，

0sinxn0π上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有In?In?1???I1。所以

sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?In?I1??2dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?0sinx000sinx2。

六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明（本题9分） ?f?t?dt是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。

0x????f?x?存在，设为A，则A≠0；证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以lim?x?0f?x???A。 又因f (x)为奇函数，所以lim?x?0命：

?f?x??A,x?0;???x???0,x?0;

?f?x??A,x?0.?则??x?在x = 0点处连续，从而??x?在???,???上处处连续，且??x?是奇函数：

当x > 0，则－x < 0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?； 当x < 0，则－x > 0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?, 即??x?是连续的奇函数，于是

???t?dt是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又

0x?0??t?dt??0f?t?dt?Ax，

即

所以

xxx?x0f?t?dt????t?dt?Ax，

0x?f?t?dt是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。

022七、设f (u, v)有一阶连续偏导数，z?fx?y,cos?xy?，x?rcos?,y?rsin?，

??证明：

?z1?z?z?zcos??sin??2x?ysin?xy?。 ?rr???u?v（本题10分）

解： 设：u?x?y,v?cos?xy?，则

22 3

?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v???????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y???2?z?xcos??ysin????zsin?xy???ycos??xsin???u?v?z?z?z??2r?xsin??ycos???rsin?xy???ysin??xcos??， ???u?v

类似可得

代入原式左边，得到

?z1?zcos??sin??rr???z?z?z?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos???u?v?u?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v

八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，f??0???3求：

limt?01πt4x2?y2?z2?t2???f?x2（本题10分） ?y2?z2dxdydz。

?解：记G?t??1πt4x2?y2?z2?t2???f?x2?y2?z2dxdydz，应用球坐标，并同时注意到积分

?区域与被积函数的对称性，有

G?t??于是有

8πt4t??20d??2sin?d??f?r?r2dr?00?t4?f?r?r2dr0tt4

limG?t??limt?0t?04?f?r?r2dr0t44f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3。 t?0t?0t4t3九、计算I??ydx?xdy（本题10分） ?Lx?x?y，其中L为x?x?y?1正向一周。

解：因为L为x?x?y?1，故

I???ydx?xdyL格林公式????1???1??d??2??d?

DD其中D为L所围区域，故

??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。

D当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?2x?y?1?0；

4

当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??y?1?0； 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?y?1?0； 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??2x?y?1?0， 故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdy?Lx?x?y?4。

十、设常数k?ln2?1，证明：当x > 0且x ≠ 1时，?x?1?x?ln2x?2klnx?1?0。（本题10分）

证明：设函数f?x??x?ln2x?2klnx?1故要证?x?1?x?ln2x?2klnx?1?0，

只需证：当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。

???x?0?，

??2lnx2k1???x?2lnx?2k?。 xxx2x?2命：??x??x?2lnx?2k，则???x??1??。

xx21当x = 2时，???x??0，x = 2为唯一驻点。又????x??2，????2???0，所以x = 2

2x显然：f??x??1?为??x?的唯一极小值点，故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x > 0)，即当x > 0时f??x??0，从而f?x?严格单调递增。

又因f?1??0，所以当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。

高等数学竞赛模拟试题（二）参考答案

一、 填空题（每小题4分，共40分）

?y?[0,1]?arcsiny,1．函数y?sinx|sinx|（其中|x|?）的反函数为x??。

2??arcsin(??y),y?[?1,0)?|a?xb|?|b|?1。 2．设a与b是非零向量，且|b|?2,及(a,b)?,则limx?03x y x22dyt22?2xe?ycosx4。 3．?edt??costdt，则

0 0 dx? 5