11矩阵、行列式与算法初步a

第十一章 矩阵、行列式与算法初步

基本要求

（1）理解矩阵和行列式的意义（矩阵是一个数表，行列式是表示特殊算式的记号），会用矩阵的记号表示线性方程组。掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）展开的方法，知道矩阵相等、矩阵加减、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘的意义以及行列式的加法、数乘等运算法则。

（2）掌握二元、三元线性方程组的公式解法（用行列式表示），会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。

（3）通过对具体问题的过程与步骤的分析，了解算法的含义，体会算法的思想和特点；理解算法的三个主要逻辑结构——顺序结构、条件结构、循环结构；会用程序框图表达简单的算法问题。

11.1 矩阵与行列式

知识梳理 1. 由m?n个数aij?R(i?1,2,?m,j?1,2,?,n)排成的m行、n列的矩形数表叫做

?a11??a21矩阵????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，其中aij（i?1,2,?m,j?1,2?n）叫做矩阵第i行第j列?????amn??的元素。当行数与列数相等时，称该矩阵为方阵。把对角线元素为1，其余元素均为零的方

矩阵叫做单位矩阵。

2. 通过对线性方程组所对应的增广矩阵进行适当的矩阵变换可以得到线性方程组的解。矩阵变换主要有以下三种：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。 *3. 矩阵的运算: （1） 矩阵相等；

（2） 实数与矩阵的乘积； （3） 矩阵的加法和减法运算；

（4） 矩阵的乘法（只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积AB才有

意义，一般AB?BA） 4. 二阶行列式：

a1a2b1b2，用来表示算式a1b2?a2b1，即；

a1a2b1b2=a1b2?a2b1（二

阶行列式的展开式），其计算结果叫做行列式的值，a1,a2,b1,b2都叫做行列式的元素。

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a15.三阶行列式：a2b1b2b3c1c2，用来表示算式 c3a3a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2，即：

a1a2a3b1b2b3c1c2=a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2（三阶行列式的展开c3式），其计算结果叫做行列式的值，ai,bi,ci(i?1,2,3)都叫做行列式的元素。 6.三阶行列式的两种展开方法：

a) 按对角线展开； b) 按一行或一列展开。 7.二元一次方程组的解： 方程组?a1?a1x?b1y?c1，记：D?a2?a2x?b2y?c2b1b2,Dx?c1c2b1b2,Dy?a1a2c1c2

?x???当D?0时，方程组有唯一解??y???DxD；当D?0时，若D?D?0，则方程组有无穷

xyDyD多解；当D?0时，若Dx,Dy中至少有一个不为零时，则方程组无解。 8.三元一次方程组的解：

?a1x?b1y?c1y?d1?方程组?a2x?b2y?c2?d2，记：

??a3x?b3y?c3?d3a1D?a2a3b1b2b3c1d1b1b2b3c1a1d1d2d3c1a1b1b2b3d1d2 d3c2,Dx?d2c3d3c2,Dy?a2c3a3c2,Dz?a2c3a3Dx?x??D?Dy?当D?0时，方程组有唯一解?y?；当D?0时，方程组无解或有无穷多解。

D?Dz?z??D?9．如果按逆时针方向排列的三点A,B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，那么

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x11?ABC的面积等于x22x3的绝对值。

y11y2y3x111，若没有给出三点A,B,C的排列顺序，则取x221x3y11y21y31典型例题 【例1】展开并化简下列行列式

5cos?3sin?lg(x?x2?1)lg(x?x2?1)（1） （2）0b1 （3）

sin??0.6?111c1解：（1）原式=?3cos??3sin???3 （2）原式=a?b?c （3）原式=0

2221a0?305???211?【例2】（1）已知矩阵A????214??，B???221??，若2A?3X?B，则

????X? 。

?1????2?（2）已知A??1234?,B???，则AB? ，BA= 。

3???4????15????58??534????,B?,C?（3）已知A?? ?10?，则?AB?C? ，A?BC?= 。?67??224??????6???2?1?5（4）三阶行列式345?2中元素?2的代数余子式的值是 。 311?8??3解：（1）X??3??20???3?? 7??3??1??2（2）AB??30?，BA??3??4?

234??468? ?6912?81216??255

（3）?AB?C???12?（4）??1237??1237????，= ??ABC???92??1292?2?115=?11

说明：（1）矩阵乘法只有当A的列数与B的行数相等时，矩阵之积AB才有意义，一般

AB?BA；

（2）要注意区分余子式、代数余子式、代数余子式的值的区别。 【例3】解关于x,y的二元一次方程组??mx?y?m?1，并讨论解的情况。

?x?my?2m解：D?(m?1)(m?1)，Dx?m(m?1)，Dy?(2m?1)(m?1)

m?x??m?1 （1） 当m??1时，D?0，方程组有唯一解?

2m?1?y?

m?1?

（2） 当m??1时，D?0，Dx?2?0，无解

（3） 当m?1时，D?Dx?Dy?0，方程组有无穷多组解??x?t,t?R

?y?2?t【例4】某公司研制生产的某种新型电子产品的成本y（万元）与生产数量x（百台）之间有一定的函数关系（成本函数），经预测可推算出这是一个二次函数，现根据实际测算有以下统计数据：

产品的数量x（单位：百台） 总成本y（单位：万元） 2 64 6 104 10 160 设每台电子产品的销售价格为2000元，目前最大的产量为1500台。（1）求该电子产品的利润函数Q(x)；（2）该电子产品的产销量在多少台范围内时，公司可以赢利？

?64?4a?2b?c?解：（1）设成本函数为y?ax2?bx?c，由条件?104?36a?6b?c，则D??128，

?160?100a?10b?c?Da??64,Db??768,Dc??6400，可得a?y?1,b?6,c?50，因此成本函数为212x?6x?50，又当销量为x百台时销售收入为20x万元，则利润函数为 211Q(x)?20x?(x2?6x?50)??x2?14x?50，其中x??1,15?，且x?N*

2212（2）令Q(x)?0得?x?14x?50?0，4.20?x?23.80，又根据公司的实际生产能

2

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力，因此当产销量在420台至1500台时，公司可以盈利。 【备用题1】空间三点A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,?1,5)。 （1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

?????????????（2）若有向量a满足a?AB，a?AC，且a?73，求向量a的坐标；

???（3）将行列式?2?13按第一行展开得到向量b，试观察b与（2）中a的关系；并将

1?32其抽象成一个一般结论，使上述结论为其特例；

?i?j?k????????????????（4）又若AD?(1,1,2)，试求以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积；

?2?13（5）试求11?32的值，比较其与（4）中体积的关系，猜测更一般结论。 22????????解：（1）AB?(?2,?1,3)，AC?(1,?3,2)，S??73 （2）a?(7,7,7)或a?(?7,?7,?7)

?????（3）b?(7,7,7)，故b?a

???一般地，向量a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，若向量n?x1x2???则n为以a，b为邻边的平行四边形的面积

?i?jy1y2????z1满足n?a，n?b z2?k??????????35?（4）因a?(7,7,7)的同方向的单位向量为a0，则平行六面体的高h?AD?a0?

73则体积V?S?h?35

?2?13（5）计算11?32?35 22x1???故一般地，以a，b，c为邻边的平行六面体的体积V?x2x3y1y2y3z1z2 z3???（其中a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，c?(x3,y3,z3)）

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6．下面的程序框图（如图所示），能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是

（ ）

(A) m=0 (B) x=0 (C) x=1 (D) m=1

开始

输入x

m?x除以2的余数

是 否

输出“x是偶数” 输出“x是奇数”

结束