角平分线与等腰三角形

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平分

，E、F分别在BD、AD上，且

的平分线，

均是等腰三角形，则DO＝AD，CE＝EO。故

，求证：EF//AB

图4

（提示：由于这里要证明的是EF//AB，而AD平分行线，这样就可以得到等腰三角形了）

，所以必须通过辅助线构造出平

二、 角平分线＋垂线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图5中，若AD平分，，则是等腰三角形。

图5

例3. 如图6，在等腰

中，AB＝AC，

，BF平分

，

，

交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD

图6

简析：由BF平分

，

，延长BA、CD交于点E，于是

是等腰三角形，，

，

并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE。事实上，由

，得

，故BF＝2CD。

。而AB＝AC，所以

，则BF＝CE，

易知

三、 作倍角的平分线→等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图7中，若，作BD平分，则是等腰三角形。

图7

例4. 如图8，在

中，

，BC＝2AC。求证：

图8

简析：由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对

进行

处理，即作CD平分

，即AC＝EC。易证得

交AB于D，过D作于E，则由，知是等腰三角形。而，所以。又BC＝2AC，所以

，所以

。