2012高考数学压轴题精练六(2)

于是有

111111111??,??,?,??. a2a12a3a23anan?1n11111??????. ana123n111??[log2n]. ana12所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵a1?b,?2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22ban?2b.

2?b[log2n]证法2：设f(n)?111????，首先利用数学归纳法证不等式 23nan?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b （i）当n=3时， 由 a3?3a233b???. 32?a13?a21?f(3)b?13??1a22a1知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak?b,

1?f(k)b则ak?1?(k?1)akk?1k?1?? (k?1)1?f(k)b(k?1)?ak?1(k?1)??1akbb1?(f(k)?1)bk?1?b,

1?f(k?1)b?(k?1)b?(k?1)?(k?1)f(k)b?b即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）、（ii）知，an?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b又由已知不等式得 an?b11?[log2n]b2?2b,n?3,4,5,?.

2?b[log2n] （Ⅱ）有极限，且liman?0.

n??

（Ⅲ）∵

2b221?,令?,

2?b[log2n][log2n][log2n]5则有log2n?[log2n]?10,?n?210?1024, 故取N=1024，可使当n>N时，都有an?

4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

1. 5x2y2解：(Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，半焦距为c，则

aba2MA1??a,A1F1?a?cc?a2?c?a?2?a?c???由题意,得?2a?4 ?a2?b2?c2???? a?2,b?3,c?1x2y2故椭圆方程为??1.43(Ⅱ)设P??4,y0?,y0?0

设直线PF1的斜率k1??y0y,直线PF2的斜率k2??035? 0??F1PF2??PF1M?? ?F1PF为锐角。?2,

2y2y0k?k15? tan?F1PF2?21?20??.1?k1k2y0?15215y01515.15当y0?15，即y0=?15时，tan?F1PF2取到最大值，此时?F1PF2最大，故?F1PF2的最大值为arctan

5．已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称，且f?x??x2?2x． (Ⅰ)求函数g?x?的解析式； (Ⅱ)解不等式g?x??f?x??x?1；

(Ⅲ)若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围．

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则

?x0?x?0,??x0??x,?2即 ??y?yy??y.?0?0,?0??2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上

∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x

222(Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x?x?1?0

2当x?1时，2x?x?1?0，此时不等式无解.

2当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?21. 2因此，原不等式的解集为??1,?.

2??1??（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1

①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数， ? ???1

②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.

1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.

1??综上，??0.

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题

满分6分.

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x?Dg g(x) 当x?Df且x∈Dg （1）若函数f(x)=

12

,g(x)=x,x∈R,写出函数h(x)的解析式; x?1（2）求问题(1)中函数h(x)的值域;

（3）若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

x2 [解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

x?1 1 x=1

1x2 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

x?1x?1 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+

? 4??)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 44于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=

?, 2g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x.

7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题

满分6分.

在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,2),┄,Pn(n,2),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点.

(1)求向量A0A2的坐标;

(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周

期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;

(3)对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.

[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴A0A2={2,4}. (2) ∵A0A2={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4, 若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).

当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1).∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)A0An =A0A2?A2A4???An?2An, 由于A2k?2A2k?2P2k?1P2k,得

2

n

A0Ann2(2n?1)=2(P,}={n,1P2?P3P4???Pn?1Pn)=2({1,2}+{1,2}+┄+{1,2})=2{

233

n-1

4(2n?1)} 3