抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围（专题复习）

专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围

涉及的主要知识点：

（1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。要根据抛物线的开口方向，数形结合；

（2）抛物线与直线相切满足的条件；

（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数； （4）直线的平移与对称；

（5）两直线垂直时，k1×k2=-1；及两直线平行时，k1=k2 （6）直角坐标系中线段的中点坐标公式

基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用

例1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2）、B（1，0），现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，点C为线段AB的中点，连接CD

（1）过点O、C、D的抛物线的解析式是

2

（2）若抛物线y=ax+x与线段CD有公共点，则a的取值范围是

解析：（1）略解。过点D作DE⊥x轴，然后根据K型图知D（3，1），由中点坐标公式得C（易得y=-

1，1） 2227x+x 332

（2）① 当a＞0时，抛物线y=ax+x与x轴的交点坐标为（-

1，0）、（0，0），抛物线只可能与线段CD有一个a?a?0?11?交点，如右图所示，所满足的条件为?a?()2??1，解得0＜a≤2

22?2??a?3?3?1

② 当a＜0时，抛物线y=ax+x与x轴的交点坐标为（-2

1，0）、（0，0），此时抛a物线与线段CD可能有两个交点，也可能有一个交点，也可能没有交点

2

抛物线开口向下，与线段CD有交点时，必须首先满足一个大前提：ax+x=1有解，

1≤a＜0 4111当x=时，a+＜1，故抛物线只可能从C点下方过去。

242可得大前提 -

?1??4?a?0?112?1有两个交点应满足的条件为?a??1，解得-＜a≤-

249?4?9a?3?1??1