安徽省池州一中2013届高三上学期第三次月考数学（理）试卷(2)

（Ⅱ）fn?(x)?(x?n?1)?ex (n?N?)

令fn?(x)?0,x??n?1当x??n?1时,fn?(x)?0, 当x??n?1时,fn?(x)?0

∴fn(x)在(??,?n?1)上单调递减，在??n?1,???上单调递增。 故fn(x)极小值?fn(?n?1)??e?(n?1)；

222（Ⅲ）gn(x)??(x?n?1)?n?6n?9?n?6n?9 (当x??n?1时取最小值)

2?(n?1)?(n?1)?a?n2?6n?9，由（Ⅱ）知b??e，从而令h(n)?a?b?n?6n?9?e

h?(n)?2n?6?e?(n?1)在?1,???上为增函数，

且h?(n)?h(1)??4?e?2?0 而h?(3)??e?4?0 h?(4)?2?e?5? 0??x0?(3,4)，使得h?(x0)?0 则h(n)在?1,x0?上单调递减，

?4在?x0,???上单调递增，而h(3)?e， h(4)?1?e?5?h(3) ?(a?b)max?e?4

19.【解析】证明：（Ⅰ）∵m∥n，∴asinA?bsinB，即a?其中R是?ABC外接圆半径，a?b --------（5分）

ab， ?b?2R2R??ABC为等腰三角形 --------（6分）

uvuvmmp?n0,即a(b?2)?b(a?2)?0，?a?b?ab --------（8分） 解（Ⅱ）由题意可知⊥

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab

222即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1---------)（10分）

11?absinC??4?sin?3 ………………………（12分） 2231?u20．（1）解：∵Q为AP中点，∴QP?AP?a??b P为CR中点，

222?S?∴PR?CP?AP?AC??a?(u?1)b 同理：RQ?BR?1??1??11BQ?(AQ?AB) ?(a?b?a)?(?1)a?b 22222224??1??而QP?PR?RQ?0 ∴a?b??a?(??1)b?(?1)a?b?0

22224第 6 页 共 8 页

21?????????(?1)?0???2?722??即?

?????1???0???4???247?（2）SANPM?AN?AM?sinA SABC?1AB?AC?sinA 2∴

AN?AM?sinAANAMSANPM2416??2???2??? 1SABCABAC7749AB?AC?sinA2

21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查

运用数学知识解决问题及推理的能力。

（Ⅰ）证明：对于任意的a>0，x?R，均有f(ax)?af(x) ①

在①中取a?2,x?0,即得f(0)?2f(0). ∴f?0??0 ②

（Ⅱ）证法一：当x?0时，由①得 f(x)?f(x?1)?xf(1)

取k?f(1)，则有 f(x)?kx ③

当x?0时，由①得 f(x)?f?( (1)?x)?(??1)??(xf)? 取h??f(?1)，则有f(x)?hx ④

综合②、③、④得f?x???证法二:

2令x?a时，∵a?0，∴x?0，则f(x)?x?f(x)

?kx,x?0;

?hx,x?0而x?0时，f(x)?kx(k?R)，则f(x)?kx

2而x?f(x)?x?kx?kx， ∴f(x)?x?f(x)，即f(x)?kx成立

222令x??a，∵a?0，∴x?0，则f(?x)??x?f(x) 而x?0时，f(x)?hx(h?R)，则f(?x)??hx??x?f(x) 即f(x)?hx成立。综上知f(x)??2222?kx x?0

?hx x?01?kx， kx（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当x?0时，g(x)?1k2x2?1, x?0 从而g?(x)??2?k?2kxkx第 7 页 共 8 页

又因为k>0，由此可得

x 1(0,) k－ ↘ 1 k0 极小值2 1(,??) k+ ↗ g?(x) g(x) 所以g(x)在区间(0,)内单调递减，在区间（解法2：由（Ⅱ）中的③知，当x?0时，g(x)?设x1,x2?(0,??),且x1?x2 则

1k1,??）内单调递增。 k1?kx， kxg(x2)?g(x1)??111x1?x2?kx2?(?kx1)??k(x2?x1)kx2kx1kx1x2(x2?x1)2(kx1x2?1).kx1x21时, g(x2)?g(x1)； k

又因为k>0，所以 （i）当0?x1?x2?（ii）当0?1?x1?x2时,g(x2)?g?x1? k所以g(x)在区间(0,1)内单调递减, 在区间（1,??）内单调递增.

kk

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