正规文法与有限自动机的相互转换(3)

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a1?ak，因而，在M中存在一条从S0出发一次经过A1，?，Ak-1到达终态的通路，该通路上所有箭弧的标记依次为a1，?，ak。反之亦然。所以，w L(GR)当且仅当w L(M)，故L(M)=L(GR)。

（2）若S0 F，因为d(S0,ε)= S0，所以ε L(M)，但上面构造的L(GR)中不含ε。因此，需在文法中添加产生式S0→ε，这样，就有L(M)=L(GR)。

2. 设DFAM=(S，∑，d，S0，F)，分以下两种情况进行证明：

（1）若S0 F，则令GL=(∑,S, X, P)，其中X F，P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a ∑及A,B S，若d(A，a)=B，则：

①当A≠S0时，令B→Aa； ②当A=S0时，令B→a∣Aa；

显然，上述得到的文法为一个左线性正规文法，下面说明它们的等价性(L(M)=L(GL) )。

在DFAM中，对任何w ∑*，不妨设w=a1a2?ak，其中ai ∑(i=1,2,?,k)，若存在一条从S0到X的通路，通路上所有箭弧的标记依次为a1，?，ak，则在GL中一定存在一个最左推导：X Akak Ak-1ak-1ak ? A2a2?ak ? a1?ak，即w L(GL)。反之亦然。所以，w L(GL)当且仅当w L(M)，故L(M)=L(GL)。

（2）若S0 F，则ε L(M)，但上面构造的L(GL)中不含ε。因此，需在文法中添加产生式X→ε，这样，就有L(M)=L(GL)。 3.22 有限自动机到正规文法的构造方法

上述定理的证明采用了构造性的证明方法，由此可以得出由有限自动机到正规文法的构造方法。

从有限自动机M=( S，∑，d，S0，F)构造右线性正规文法GR的方法如下： 令GR=(∑,S, S0，P)，其中P是由以下规则定义的产生式集合： 对任何d(A，a)=B, ①若B F，则令A→aB；

②若B F，并且B状态有箭弧射出，则令A→aB∣a；若B F，并且B状态没有箭弧射出，则令A→a；

③若S0 F，则令S0→ε。

从有限自动机M=( S，∑，d，S0，F)构造左线性正规文法GL的方法如下：

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令GL=(∑,S, X，P)，其中P是由以下规则定义的产生式集合： 对任何d(A，a)=B,

①若A不是初始状态，则令B→Aa；

②若A是初始状态，并且A状态有箭弧射入，则令B→Aa∣a；若A是初始状态，并且A状态没有箭弧射入，则令B→a；

③若S0 F，则令X→ε。

4代码编写

#include using namespace std;

int main() {

int n, m;

//n为自动机状态的总数目 //m为自动机终结符的数目 int n_midd_stat, n_final_stat; //n_midd_stat为中间状态的数目 //n_final_stat为终态的数目

cout << \请输入自动机共有的状态数目：\ cin >> n;

char* stat = new char[n];

cout << \请输入开始状态：\ cin >> stat[0];

cout << \请输入中间状态的个数：\ cin >> n_midd_stat;

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