浅论二元函数极限不存在的判定(2)

（ⅰ）取路径???0??，当???0，r?0?时，

r1?cos??0r；

?1，

（ⅱ）取路径r(?)?1?cos?，当????，r?0?时，所以limx?0y?01?cos?x?yx?2222x?y不存在。

x?y233例8：验证limx?0y?0x?y是否存在。

x?yx?y233解：当

y?1时，有

33f(x,y)?32，坐标变换?3?x?rco?s?y?rsi?n3，则

30?limf(x,y)?limx?0y?0r(cos??sin?)r2=limr(cos??sin?)=0，所以函数limx?0r?0y?03x?y2x?y存

在。

5.判断二元函数极限不存在的方法，一般采用选取两条不同的路径获得不同的极限值，若找到一条路径，函数在其上有定义，但极限不存在，都能断言其原极限不存在。

例9： 讨论limxy?1?1x?y的存在性。

1xy?1?1x?0y?0解：limxy?1?1x?y=lim1xyx?yxyx?0y?0x?0y?0? =lim2x?0y?0x?y

=??0?1y?xy?x?x2 ,故原函数极限不存在。

6.对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在。

例10：证明lim1?cos(x?y)(x?y)xy222222不存在。

x?0y?0证：先将函数变形，有

1?cos(x?y)(x?y)xy2222222=2222(x?y)xy2sinx?y22sinx?y22=(222x?y2)?x?y2xy2222

sinx?y22令f(x,y)=(222x?y2)，g(x,y)?2x?y2xy2222

一方面，limf(x,y)?1?0，

x?0y?0另一方面，当动点p(x,y)沿直线

limgx(y=,lim)2x2x24y?kx趋于原点时O(0,0，有

x?0y?x?0x?o=lim1x2x?o=?。

1?cos(x?y)(x?y)xy222222所以，limg(x,y)=?，从而limf(x,y)?g(x,y)=?,这表明limx?0y?x?0x?0y?0不存在。

x?0y?0 [参考文献]

[1]韩超，王继成，齐秀丽.数学分析选讲[M] .哈尔滨：黑龙江教育出版社，2003. [2]华东师范大学数学系编<下册>.北京.高等教育出版社. [3]侯风波，王富彬.应用数学[M] . 北京：科学出版社，2012.