椭圆的简单几何性质典型例题

椭圆（1）

1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为

AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的距离4椭圆

259?5?成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭5 已知椭圆

43圆上找一点M，使M到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远

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距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．

11 设，，，求的最大值和最小值．

12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点．

（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，． （2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围．

13 已知椭圆的离心率，求的值．

14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求点坐标．

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16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，．

17 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点． (1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标； (2) 求的最小值及对应的点的坐标．

18 (1)写出椭圆的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．

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(1)求椭圆离心率的取值范围； (2)求证的面积与椭圆短轴长有关．

20 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．

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