中国石油大学华东期末(2—2)高数题1

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面

?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为 .

22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数z?x?y2. 函数在点

为 .

222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，

1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?D .

222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分

???f(?x2?y2)dV在柱

面坐标系下化为三次积分为 .

23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t?5. 设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，

?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

??Pdx?Qdy?Rdz?将

函

数

______________________________________.

6.

f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为

__________________________________

.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若

??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ ）

Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).

K2(A) 2； (B)

8. 设

f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域

D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ ）

??f(x)g(y)dxdy?0D(A)

??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；

(C)

??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)

??[f(y)?g(x)]dxdy?0D.

9. 已知空间三角形三顶点

A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ ）

7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7.

2z??dxdy?10. 曲面积分在数值上等于( )

??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.

若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11．( )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( )

?p?(A) 当

11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；

110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当

0?p?(C) 当

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13.（本题满分6分）设确定

题满分8分）求曲线

???2x?3y?5z?4?0?x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

15.（本题满分8分）求幂级数n?0

?(2n?1)xn的和函数.

（本题满分6分）计算所截下的有限部分.

I???(x?y?z)dS?22y?z?5x?y?25?，其中为曲面被柱面

17.（本题满分8分）计算积分

I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dyL，其中L为曲线

355(x?)2?(y?)2?222上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

18.（本题满分8分）计算

I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?，其中?是由曲面

4?y?x2?z2与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧.

x2y2z2?2?2?12abc19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个

坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 20. (本题满分6分)设

baf(x),g(x)均在?a,b?上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：

bbaa[?f(x)g(x)dx]2?[?f2(x)dx][?g2(x)dx].

答 案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.

?1. 平面

?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为

3.

22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数为z?x?y2. 函数在点

1?23.

222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，

1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?Df(0,0) .

222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分

2?011r????f(x2?y2)dV在柱

面坐标系下化为三次积分为

?d??dr?f(r)rdz0.

23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t5. 设?为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，

?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

??Pdx?Qdy?Rdz???(P1?4x?9y22?2xQ1?4x?9y22?3yR1?4x?9y22)ds.

6. 将函数

f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为

x?1??2?1?4?(cosx?11cos3x?cos5x??)(0?x??)3252.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若

??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ D ）

Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).

K2(A) 2； (B)

8. 设

f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域

D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ A ）.

??f(x)g(y)dxdy?0D(A)

??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；

(C)

??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)

??[f(y)?g(x)]dxdy?0D..

9. 已知空间三角形三顶点

A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ A）

7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7

10. 曲面积分

??z?2dxdy在数值上等于( C ).

??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.

若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11.( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( A )

?p?(A) 当

11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；

110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当

0?p?(C) 当

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13. （本题满分6分）设确定

?(x?y?z)dx?dy?dz?e(?1)(dx?dy?dz)

解：两边同取微分

整理得

dz??dx?dy.

14. （本题满分8分）求曲线 程.

???2x?3y?5z?4?0x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方

dydz9??dy2x?2y?2z?3???dx(1,1,1)4dxdx??dzdydz7?2?3?5?0???(1,1,1)dxdxdx4，++- ??x解：两边同时关于求导，解得

91T?(1,,?)1616 所以切向 …… 此处隐藏：2042字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……