01质点运动学习题解答(2)

v两边积分： 得：

dv??kx2 vdv??kx2dx dxx0?vv0vdv ???kx2dx

122(v?v0)??kx3/3 22当v = 0时，质点前进的距离最远，即：xmax?(3v0/2k)1/3

5. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标，已知v0 = 150 m ? s–1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？

解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P，离炮位的距离为s。则有

y?xtan30°

?由轨迹方程 y?xtan60°联立解得

22v0cos260°gx2 y v0 s 60° 30° o P y x x 2v02cos260°(tan60°?tan30°)?1326m x?gy?xtan30°?765.6m

根据s?x2?y2或者s?y，均可以计算出s?1531.2m。 sin30?

6. 设一歼击机在高空A点时的速度沿水平方向，速率为1800 km/h，飞机在竖直平面上沿近似于圆弧轨道俯冲到点B，其速率变为2100 km/h，A到B的圆弧的半径为4.0km，所经历的时间为3.5s，该俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。求飞机在B点加速度的大小，飞行员能承受这样的加速度吗？

解 vA?1800 km/h?500m/s，vB?2100 km/h?583 m/s。飞机在B点的加速度的法向加速度

2vB5832an???85.0 m/s2

R4000俯冲过程视为匀变速率圆周运动，故切向加速度可按照下式计算

vB?vA583-500??23.7 m/s2 t3.5因此飞机在B点的加速度大小

at?2a?an?at2?85.02?23.72m/s2?88.2 m/s2

上面计算出的加速度是重力加速度的9倍，这是飞机驾驶员最多可承受的极限加速度。

7. 一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?作圆周运动的速率；（2）质点的加速度。

12（1）质点kt运动，v0，k都是常量.求：

2解（1）质点作圆周运动的速率

v?ds?v0?kt dt（2）切向加速度和法向加速度分别为

2v2(v0?kt)dv? at???k，an?RRdtat a 因此质点的加速度大小

2a?at2?an?k2?? v ? an (v0?kt)4R2

O R 如图所示，设其与速度方向的夹角为? ，则有

(v0?kt)2an??arctan?arctan[?]

atRk质点的加速度大小和方向都是随时间t变化。

8. 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，设t?0时质点位于极轴上，其角速度为???12 t 2 (SI单位)。(1) 求在t = 2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，角位置??值为多少？(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：(1) 已知???12 t 2，所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：

an??2r?144rt4?230.4m?s?2 at?rd?/dt?24rt?4.8m?s?2

其角位置为： ???0???dt?4?23rad?32rad

0222(2) 由a?an，即： ?at2 at?a/2，可得： 3at2?an3(24rt)2?(144rt4)2， 解得：t3?0.29 s3

所以： ???0???dt?4t3?1.16rad

0t(3) 由at?an，可得 24rt?144rt4， 所以t?0.55s

9. 一架预警机A以vA=1000km ? h–1的速率相对于地面向南巡航，飞机中雷达员发现一目标B以vB=1200km ? h–1的速率相对于地面向东偏南30?方向飞行。求目标B相对于预警机A的速度。

解： 如图所示，已知飞机A的绝对速度vA和目标B的绝对速度vB ，所以目标B相对于飞机A的相对速度vBA为

vBA?vB?vA

y 所以

vBAx?vBx?vBcos300?1039.2km?h?1

vBx ?1vBAy?vA?vBy?vA?vBsin30?400km?h

因此，相对速度vBA的大小为

0vBy vA 30? x

vB ??vBA 22vBA?vBAx?vBAy?1039.22?4002?1113.6km?h?1

方向为东偏北??角，??的大小为??tan?1即相对速度vBA的方向为东偏北21?。

vBAyvBAx?tan?1400?21???

1039.2