李雅普诺夫指数的综述

李雅普诺夫指数 ? 1.李雅普诺夫指数的定义 ? 2. 李雅普诺夫指数的划分意义

? 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中，如何应用

一李雅普诺夫指数的定义

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射

假设初始位置附近有一点

，则

经过一次迭代后，这两点之间的距离为：

（1）

并利用微分中值定理有：

（2）

n次迭代后，并利用微分中值定理，这两点之间的距离为：

（3）

由（3）式可得：则有：

其中

那么式（4）就变为：

（5）

则称

（6）为Lyapunov指数。

时，该系统具有

（4）又由复合函数的微分规

一维映射就对应一个李雅普诺夫指数，而且当混沌特性。当

时，对应着分岔点或系统的周期解，既系统出现

周期现象。时，系统有稳定的不动点，即此时对应的是一个点。而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。

Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散

或收敛

i

的快慢程度，仅从数学角度考虑，Lyapunov特性指数无量纲。n 维系统具有 n 个 Lyapunov 特性指数，形成指数谱。其中数值最大的被称为最大 Lyapunov 特性指数。最大 Lyapunov 指数定义为

其中，

表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。最

大 Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标，也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。其中一维系统只有一个指数，二维系统有两个指数来表征。在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.

二李雅普诺夫指数的物理意义

系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时，系统对初值的敏感性。指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的，此方向的运动是稳定的；

而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和

折叠，以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关，从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测，即所谓的初值敏感性。 进一步意义

? 设某一系统的指数谱为

? （从大到小排列），若该系统具有混沌吸引子，则必须同时满足以下条件

? （1）至少存在一个正李雅普诺夫指数 ? （2）至少存在某一指数为0 ? （3）指数谱之和为负。

三此指数在混沌系统中的应用

? 混沌运动的基本特点是运动状态对初始条件的高度敏感性。两个极为靠近的初值所产生的轨道,随时间推移按指数形式分离,Lyapunov指数是定量描述这一现象的量。

对所讨论的Duffing振子,若它的Lyapunov指数均小于零, :若存在一个Lyapunov特性指数大于零,就说明系统是处于混沌状态。这种判别方法计算简单,物理意义明确,误差小 。

五计算此指数的几种方法

? 用Logistic映射产生的模拟时间序列数据，采用两种从实验数据时间序列恢复动力学的方法，计算混沌吸引子的Lyapunov指数。

? 一种方法是S.J.Chang和J.Wright提出的混合嫡法〔8一〕，这

种方法特别适合一维的实验系统。另一种方法是A.wolf提出的重构吸引子法〔7〕，这种方法可以推广到相空间维数及动力学规律都不知道的更普遍的实验系统，在原则上可以计算系统的全部正Lyapunov指数谱。 具体的方法还有

1.从动力学规律计算Lyapunov指数 2. Chang一Wright混合嫡法

Chang一wright混合嫡法仅适用于可化为一维凸映射的情况。一般来说，总点数N及盒子数凡越大，所得结果越精确。 3. Wolf重构法

Wolf重构法以Takens的延迟坐标重构相空间技术为基础，对于一个由观测得到的实验数据时间序列x(t)以延迟坐标重构m维相空间中的一条轨道，

计算最大Lyapunov指数的Wolf程序，一般适合于嵌入维m>1的重构吸引子的时间序列。