高中数学 第二章 平面向量 2.3.2.1 平面向量的坐标运算学业分层

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

→

1．若点P的坐标为(2 016,2)，向量PQ＝(1，－3)，则点Q的坐标为________． →→→

【解析】 ∵PQ＝OQ－OP， →→→∴OQ＝OP＋PQ

＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)

→→→

2．(2016·如东高一检测)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝________. →→→

【解析】 BC＝BA＋AC →→＝BA－CA ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)

→

3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________． 【解析】 设B点坐标为(x，y)， →

则AB＝(x＋1，y－5)， →

∵AB＝3a，

∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴?

??x＋1＝6，

??y－5＝9，

∴?

??x＝5，

??y＝14.

【答案】 (5,14)

→

4．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．

→

【解析】 ∵AB＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，

1

??x＋3＝2，∴?

?y－4＝0，?

??x＝－1，

解得?

?y＝4.?

【答案】 －1,4

5．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________. 【解析】 由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)， ∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)， 2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)． 【答案】 (3,5) (－2，－2)

→→

6.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝2，∠xOA＝150°，则向量OA的坐标为________．

图2-3-16

→

【解析】 过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝|OA|cos 150°→

＝－3，y＝|OA|sin 150°＝1.

→

所以OA的坐标为(－3，1)． 【答案】 (－3，1)

→1→

7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝MN，则P点的坐标为________.

2

【导学号：06460056】

【解析】 设P(x，y)，则 →

MP＝(x－3，y＋2)，

1?1→1?MN＝(－8,1)＝?－4，?， 2?22?

x－3＝－4，??

∴?1

y＋2＝，?2?

2

x＝－1，??∴?3

y＝－，?2?

3??∴P点的坐标为?－1，－?.

2??3??【答案】 ?－1，－? 2??

8．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x→→→

轴，y轴的正向上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为________．

→→

【解析】 ∵AB＝(1,0)，BC＝(0,1)， →

AC＝AB＋BC＝(1,1)，

→→→∴2AB＋3BC＋AC

＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 二、解答题

→

9．(1)已知向量a＝(x＋3，x－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；

2

→→

(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|，求P点的坐标．

?→→?x＋3＝2，

【解】 (1)∵AB＝(2,0)，又∵a＝AB，∴?2

?x－3x－4＝0，?

→→

∴x＝－1.

(2)设P(x，y)，则P1P＝(x－2，y＋1)，

→

PP2＝(－x,5－y)，

∵点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|， ∴P1P＝2PP2，

?x－2＝－2x，?

∴??－y?y＋1＝

→

→→

→→

，

2??x＝，

∴?3??y＝3，

?2?∴P?，3?.

?3?

10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，→

MN与AD交于点F，求DF.

3

【解】 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， →→

所以AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．

→1→→?7?而M，N分别为AB，AC的中点，

又因为D是BC的中点，有AD＝(AB＋AC)＝?－，－4?，

2?2?所以F为AD的中点，

→1→1→?7?

故有DF＝DA＝－AD＝?，2?.

22?4?

能力提升]

→→

1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC→

＝(1,3)，则BD＝________.

【解析】 由向量的平行四边形法则可知 →

→→AC＝AB＋AD， →→→∴AD＝AC－AB ＝(1,3)－(2,4) ＝(－1，－1)， →→→∴BD＝AD－AB ＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)． 【答案】 (－3，－5)

2．(2016·苏州高一检测)已知P1(5，－1)，P2(－3,1)，点P(x,2)分P1P2所成的比为λ，则x的值为________．

【解析】 ∵y＝－1＋λ∴2＝，

1＋λ解得λ＝－3. 所以x＝＝－7. 【答案】 －7

3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于________．

4

→

y1＋λy2

1＋λ

，

x1＋λx25＋－

1＋λ

＝

1＋－

－

14

＝－ 2

【解析】 令(1,2)＋λ1(3,4) ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 即(1＋3λ

1,

2＋4λ1)

＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，

??1＋3λ1＝－2＋4λ2，∴???2＋4λ1＝－2＋5λ2，?λ1＝－1，?解得?

??λ2＝0，

故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)． 【答案】 {(－2，－2)}

4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2-3-7所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，λ

求的值． μ

图2-3-7

【解】 以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb?(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ1λ

＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.

2μ

5