高一数学必修四综合试题A组：于晓闻(2)

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→→→→→→→→→→

19．(1)解 OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.

(2)证明 一方面，由(1)，得 →→→→→

OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB；①

→2→21→→1→1→

另一方面，∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②

3323311

?1－λ?x＝，＝3－3λ，

3x11→→

而OA，OB不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．

xy11

λy＝.＝3λ.

3y

33

20解 (1) f (x)＝a·b＋|b|2＋＝53sin xcos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋ 22

1＋cos 2x5553π

＝53sin xcos x＋5cos2x＋＝sin 2x＋5×＋＝5sin(2x＋)＋5.

22226

???

???

T??, (??12?k?,5)k?Z 2πππππ7π1π

(2) f (x)＝5sin(2x＋)＋5. 由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤1，

66226626

ππ5

∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．

622(3) 略

221.（1）f(?)?sin2??(2?m)(sin??cos?)令t?sin??cos?，t?[-2,2]，则sin2??t?1

当m?1时，g(m)=(t?3t?1)min?1?32 （2）f(?)?F(t)?t?(m?2)t?1，t?[-2,2]

22?(m?2)2?1,m??22?2??m2?4m?8 g(m)=??,?22?2?m?22?2

4??1?(m?2)2,m?22?2?（3）易证h(x)为R上的奇函数

4???h(3?2m)?0成立， ?sin??cos???4????h(3?2m)?h(?3?2m)， 只须h?sin2??(2?m)(sin??cos?)??sin??cos???4??3?2m， 又由f(x)为单调增函数有sin2??(2?m)(sin??cos?)?sin??cos?要使h?sin2??(2?m)(sin??cos?)? 6

2令t?sin??cos?，则sin2??t?1，

????[0,],?t?2sin(??)?[1,2]

242原命题等价于t?1?(m?2)t?4?3?2m?0对t?[1,2]恒成立； t2t(2?t)?(2?t)42t?(2?t)m?2t?t2??2，即m??t?. t2?tt由双勾函数知g(t)在[1,2]上为减函数，?m?3时，原命题成立

22解析：（I）因为f?x??103sinxxx???cos?10cos2?53sinx?5cosx?5?10sin?x???5． 2226??所以函数f?x?的最小正周期??2?． （II）（i）将f?x?的图象向右平移

?个单位长度后得到y?10sinx?5的图象，再向下平移a（a?0）6个单位长度后得到g?x??10sinx?5?a的图象．又已知函数g?x?的最大值为2，所以10?5?a?2，解得a?13．所以g?x??10sinx?8．

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g?x0??0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0?8?0，即sinx0?4． 5由

?443?知，存在0??0?，使得sin?0?．

35524． 5由正弦函数的性质可知，当x???0,???0?时，均有sinx?因为y?sinx的周期为2?，

所以当x??2k???0,2k?????0?（k??）时，均有sinx?因为对任意的整数k，?2k?????0???2k???0????2?0?4． 5?3?1，

4． 5所以对任意的正整数k，都存在正整数xk??2k???0,2k?????0?，使得sinxk?亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g?x0??0．

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