北邮数理方程 07级数理方法期中测验答案(2)

?(An?1??n?Bn)sinn?xx?A(1?) aan?x?0 a 由此得

?(Ane??Bne??)sinn?1An?0,(n?1,2,3,?)

?Bnsinn?1?n?xx?A(1?) aa2axn?x2ABn??A(1?)sindx?,(n?1,2,3,?)

a0aan?1??u(x,y)??e?n?1n

2A?n?yasinn?x。 a五 （本题20分）半径为a高为h的圆柱体，上底的电势分布为

f?????2，下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内的电势分布。即求解定解问题

?2?2u1?u?2u??2?0,??u?2??????z??2?uz?0?0,uz?h??,??u??a?0,u??0???.?????a,0?z?h?

解 分离变量，即令u?u??,z??R???Z?z?代入方程得

2Z''?z??kZ?z??0,'?2R'?'????R?????k?1?

2?2?0?R????0.??其中?k2是分离常数，方程(1)和(2)解依次是

Z0?z??A0z?B?k?0?, (3) kz?kzZ?z??Ae?Be?k?0?;0

R0????C0?D0ln??k?0?, (4)

R????CJ0?k???DY0?k???k?0?.由边界条件

u??0???和u??a?0 得

C0?D0?D?0, 及

J0?ka??0. 可见对应k=0问题没有非零解。由(4)得本征值为

kx?0?nn?a?n?1,2,? , 相应的本征函数为

R????C?x?0?n?nnJ0??a????n?1,2?, ??? . 将本征值代入到（3）的第二个式子得到 x?n0?x?n0? Zn?z??Aneaz?Bne?az.

由边界条件uz?0?0, 得

An?Bn?0,即Bn??An， 于是

x?0n?x?0n? Zeaz??neaz0n?z??2An2?ax??nnshaz.

(5) （6） (7) 8）

（组合、叠加，得问题的一般解为

?0??xn u??,z???Cnsh??an?1???0????xnz??J0??a???. （9） ???由边界条件uz?h??2代入，得

?0??xn ?Cnsh??an?1???0????xn2h?J???. ???0?a????右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有

1Cn??0??2?xna?0?sh?h?J12xn?a?22??0???xn?0?sh?h?a2J12xn?a????a0?0???xn?J0??a???d???33a44??????xn0??0?xn0?xn??xn??xn??J?d???a??0??a????a??,???????0??0??0?

?0?xn令??x, 应用分部积分法和递推公式，得

a??0?xn0xJ0?x?dx?xn3??J?x??2?x?J?x????4x??J?x???

????????xJ?x??x??4?,?????0?3?0??0?21nn00n0n10n0n10n0n2因此

?0?2a?xn??2 Cn????????0?xn3?0?J1xn?4????0??xnsh??a2?h??,

将上式代入到(9), 的原定解问题的解为

????4??u??,z??2a??x???2??x?0?n??2n?00n3?0???0???xn?xnsh?z?J1????a??a?. ?0???0??xnJ1xnsh?h??a???