08高考文科试题分类函数(2)

（2）选择函数模型①，y'?令y'?0得sin??当??(0,?10cos?cos??(20?10sin?)(?sin?)10(2sin??1)?

cos2?cos2?1?? ?0?????? 246)时y'?0，y是θ的减函数；当??(,)时y'?0，y是θ的增函数；

664120?10??2?10?103?10 所以当??时，ymin?632此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边2．（江苏20）（16分）

???103km处。 3?f1(x),f1(x)?f2(x)若f1(x)?3，x?R，p1,p2为常数，且f(x)?? ,f2(x)?2?3f(x),f(x)?f(x)12?2（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充要条件（用p1,p2表示） （2）设a,b为两实数，a?b且p1,p2?(a,b)若f(a)?f(b)

b?a求证：f(x)在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为（闭区间?m,n?的长度定义为

2n?m）

x?p1x?p2

【解析】：本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。 （1）f(x)?f1(x)恒成立?f1(x)?f2(x)?3x?p1?2?3x?p2?3x?p1?x?p2?2

?x?p1?x?p2?log32 （*）

若p1?p2，则（*）?0?log32，显然成立；若p1?p2，记g(x)?x?p1?x?p2

,x?p2?p1?p2?当p1?p2时，g(x)???2x?p1?p2,p2?x?p1

?p?p,x?p121?所以g(x)max?p1?p2，故只需p1?p2?log32。

,x?p1?p1?p2?当p1?p2时，g(x)??2x?p1?p2,p1?x?p2

?p?p,x?p221?所以g(x)max?p2?p1，故只需p2?p1?log32。

综上所述，f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1?p2|?log32

（2）10如果|p1?p2|?log32，则f(x)?f1(x)的图像关于直线x?p1对称。（如图1） 因为f(a)?f(b)，所以区间[a,b]关于直线x?p1对称。 因为减区间为[a,p1]，增区间为[p1,b]，所以单调增区间的长度和为20如果|p1?p2|?log32，不妨设p1?p2，则p2?p1?log32，

于是当x?p1时，f1(x)?31p?xb?a。 2?3p2?x?f2(x)，从而f(x)?f1(x)

当x?p2时，

1x?pf1(x)?3x?p1?3p?2p?3?32lo2p3gx??3?f22(x)，从而

f(x)?f2(x)

当p1?x?p2时，f1(x)?3由方程30x?p1x?p1及f2(x)?2?3p2?x，

?2?3p2?x0得x0?p1?p21?log32，（1） 2212?f1(x),p1?x?x0所以f(x)??

?f2(x),x0?x?p2?f1(x),a?x?x0综上可知，在区间[a,b]上，f(x)??（如图2）

?f2(x),x0?x?b故由函数f1(x)及函数f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和

显然p1?x0?p2?[(p2?p1)?log32]?p2，表明x0在p1与p2之间。

?2?3b?p2，得p1?p2?a?b?1b?a故由（1）（2）得(x0?p1)?(b?p2)?b?[p1?p2?log32]?

22b?a综合1020可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为。

2a)?f(b)为(x0?p1)?(b?p2)，由f(，即3

y (a,f(a)) (b,f(b)) y (a,f(a)) p1?a olg32（2）

(b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) O 图1 x O 图2 x