南京大学2005年数学分析考研试题及解答(2)

1?e?tu2??1?e2t?2tt?1t22du

?2??2?1?e2t?1[1?12du

11t?11?e22t?1(?)]dt

?2(1?e?t?12)?(lnt?11?e) 22?1 ln2?1 ?2(1?e?1?e?12)?ln1?e?1??2(1?e?2)?1?2ln(1?e?1)?2ln(2?1).

2 解 曲面S的方程可化为

(x?a2)?(y?2a2)?(z?2a23)?(232a)，

2V?{(x,y,z):(x?a2)?(y?2a2)?(z?2a2)?(22a)}，

2利用高斯公式

I???xS2dydz?ydzdx?zdxdy?22???(2a?2y?2z)dzdydz

V ?(????[2xVaa)?2y(?22a)?z2(?2?)a3dz]dy dzdz ?3a???dzdy

V ?3a?43?(32a)

3 ?33?a24.

11?11五 解 n?(,,)，切平面方程为

2abc1a1b1c(x?a)?(y?b)?(z?c)?0，

1a

x?1by?1cz?1，

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切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a,b,c，u??c????3a3bc，

由于a?b?c?1，127aba?b?3c?1?1?， ??????327???所以u的最大值为。

六、定理1、 设f在[A,B]上连续，在(A,B)内可导，则存在??(A,B)，使得

?证明 令F(x)?BAf(x)dx?(B?A)f(A)?f?(?)2(B?A)

2?xAf(t)dt，利用泰勒公式，存在??(A,B)，使得

F??(?)22F(B)?F(A)?F?(A)(B?A)?(B?A)，

2即得 ?f(x)dx?(B?A)f(A)?ABf?(?)2(B?A)．

定理2、 设f(x)?C1[a,b]，记

b?n??af(x)dx?b?ann?k?1f(a?(k?1)b?an)，(n?1,2,?)，

则有

limn??n?n?12(b?a)[f(b)?f(a)]．

b?anb?an证明 存在?k?(a?(k?1)，a?k)，使得

?a?kb?anb?anf(x)dx?b?anf(a?(k?1)b?ana?(k?1)f?(?k)b?a2()，(k?1,2,?,n)， )?2n从而 n?n?b?a2n?k?1f?(?k)b?an，存在??(a,b),使得?n?b?a2b?a2f?(?)b?an，

于是

limn??n?n?b?a2?baf?(x)dx?[f(b)?f(a)].

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