高维波动率的预测

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高维波动率的预测

王明进

(北京大学光华管理学院)

摘要 多维波动率的预测在实际投资决策中是一个重要而困难的问题。本文

分析了能够运用到高维情形下的五种波动率模型的预测方法,它们分别是EWMA模型、OGARCH模型、ICGARCH模型、GOGARCH模型和DCC模型等。对两组高维真实数据的波动率进行预测比较的结果显示,ICGARCH模型和DCC模型能够给出比其他三种模型更为准确的预测结果,此外,OGARCH模型EWMA模型要好,而预测效果最差的是GOGARCH模型。

关键词!多元波动率!预测!ICGARCH模型!DCC模型

中图分类号!F830!!文献标识码!A

ForecastingofHighDimensionalVolatility

!!Abstract:Forecastingofmultivariatevolatilityisanimportantbutdifficultproblemforpracticalinvestmentdecisions Thispaperaddressestheforecastingmethodsoffivemultivariatevolatilitymodels,i e ,EWMAmodel,OGARCHmodel,ICGARCHmodel,GOGARCHmodelandDCCmodel,whichcanbeusedinthecasesofhighdimension Byapplyingthesemethodstotworealdata,theirout of sampleforecastingperformancesareevaluatedandcompared Theresultin dicatesthatICGARCHmodelandDCCmodelcanalwaysgivethemostaccurateforecastamongthesemodels Moreover,OGARCHmodelismuchbetterthanEWMAmodelandGOGARCHisalwaystheworstoneintermoftheforecastingofhighdimensionalvolatility

Keywords:Multivariatevolatility;Forecasting;ICGARCHmodel;DCC

model

引!!言

对金融资产波动率的度量和预测,在期权定价、资产配置及风险管理等诸多金融决策当中都是极为重要的一个环节。在只考虑一个资产的情形下,该资产的波动率是指它的收益率

,

138 #数量经济技术经济研究 2008年第11期

的方差或者标准差。比如,在对期权进行定价的时候,标的资产从现在至到期日波动率的变化将直接影响到期权的价格。对于多个资产,通常称它们收益率的协方差矩阵为多元(维)波动率。在构造投资组合或进行资产配置的时候,该协方差矩阵是构造所谓有效边界的主要输入参数。一般地说,波动率就是指收益率分布的二阶矩。大量的实证结果表明,金融资产的波动率往往随时间而变化,并且呈现出较强的记忆性或持续性,对波动率动态规律的探索有助于预测其未来的变化,从而有助于制订更加合理的投资决策。近来,各类不同的关于波动率的动态计量模型和预测方法被提出来,使得这方面的研究构成了金融计量学的一个主要方向。

在一维的情形下,对波动率的预测主要基于各种时间序列模型或者隐含波动率。针对单个资产波动率的时间序列模型可以分成三类,第一类是ARCH模型以及由此推广得到的诸如GARCH、EGARCH、GJR GARCH、APGARCH等模型(Andersen等,2005);第二类是随机波动率模型及其相应的一些推广形式(Shephard,2004);第三类模型则是针对由日内高频数据得到的所谓实际波动率(realizedvolatility)序列建立的各种时间序列模型(Andersen等,2003)。隐含波动率则是利用期权的真实成交价格并依照Black Scholes公式或其推广形式反解出来的波动率。Poon和Granger(2003、2005)对近二十年来九十多篇关于波动率预测的论文进行了综述和比较。他们认为,相比各种时间序列模型,隐含波动率给出的预测结果更为准确一些。另见Andersen等(2005)给出的综述。

对于多维的情形,波动率对应的是协方差矩阵,此时对波动率的预测变得困难很多,首先参数的个数会随着维数的增加而迅速增加,另外要保证得到的矩阵满足正定性的条件,因此无论对模型的设定还是估计都是一种挑战。目前,对多维波动率的预测主要基于类似于前面的三类时间序列模型,即各种多元的GARCH模型,包括vech GARCH模型、BEKK模型、常值条件相关系数(CCC)模型、动态条件相关系数(DCC)模型等(Bauwens等,2006),多元随机波动率模型(Shephard,2004)以及针对实际协方差矩阵(realizedcovari ancematrix)序列的时间序列模型(Andersen等,2003;Barndorff Nielson和Shephard,2004)。但由于各种困难,上述很多模型根本无法用于高维的情形。比如在考虑10个资产的时候,一个vech GARCH(1,1)模型中需要估计的参数是6105个(Bollerslev等,1988);一个BEKK(1,1;1)模型中的参数也有255个(Engle和Kroner,1995)。可以想象,对这么多参数进行估计时的优化问题会非常费时甚至难以实现。类似地,由于随机波动率模型的似然函数包含了复杂的积分,通常需要借助MCMC等方法来估计,在高维的情形下,同样会变得非常复杂。此外,由于同时需要不同资产的高频数据,以及涉及到如何消除市场微观结构导致的噪声影响,实际协方差矩阵序列的获得和建模也绝非一件容易的事情。

本文考虑高维波动率的预测问题。在实际的投资决策当中,同时考虑十多个甚至更多资产的情形显然是很平常的,因此对高维协方差矩阵的预测非常有必要。但是正如前面提到的,能够表达高维波动率的真正实用的模型却并不是太多。本文具体考察了五种模型,分别为J P Morgan在其RiskmetricsTM中采用的指数加权移动平均模型(简记为EWMA模型,J P Morgan,1996),O GARCH模型(Alexander,2001),GO GARCH模型(vanderWeide,2002),DCC模型(Engle,2002)以及IC GARCH模型(王和陈,2006),,

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行预测。由于O GARCH模型和IC GARCH模型都是基于数据降维进行的,因此,即便对于高维的数据,计算仍然可以在很快的时间内完成;对于GO GARCH模型和DCC模型来说,参数的估计都是通过极大化似然函数得到的,在高维的情形计算会相对缓慢得多。

得到了模型的参数估计之后,对波动率的预测,特别是向前进行的多步预测并非是直接的。本文给出了这五种模型进行多步波动率预测的方法,特别地,利用Bootstrap技术给出了DCC模型的预测方法。通过对一组10维的欧洲国家汇率数据以及深圳市场20个行业指数的波动率的预测结果进行比较分析,我们发现,IC GARCH模型和DCC模型往往能够给出的更为准确的预测结果。考虑到两种模型估计时的难易程度,显然IC GARCH模型在预测高维波动率的时候更为可取。这一结果对于投资决策的参考意义不言而喻。

本文给出了这五种模型的具体形式;给出了对这些模型的预测方法的分析以及对预测结果的评价标准;通过对两个高维数据的波动率的预测结果分析比较了五种方法的优劣;最后给出了结论在。

一、高维波动率模型

下面介绍几种适用于高维情形的波动率模型。为了叙述的方便,用rt表示由d个资产的收益率组成的向量,用 t表示t时刻的信息集合。在不考虑条件均值的情况下,不妨假定E{rt t-1}=0,Cov(rt t-1)=Ht%(hij,t)d&d,因此Ht是条件协方差矩阵。不同的多元波动率模型使用定义在 t-1上的不同函数形式来给出Ht。

1 EWMA模型

形式最为简单的一种多元波动率模型是J P Morgan(1996)在RiskmetricsTM中使用的所谓指数加权滑动平均(ExponentiallyWeightedMovingAverage,EWMA)模型。具体形式如下:

Ht=(1- )rt-1r t-1T+ Ht-1%(1- )

j=1 j-1 rt-jr t-j(1)

这里 表示矩阵转置。显然,在EWMA模型中,第i个资产的波动率hii,t仅与该资产收益率rit的历史值有关,而与其他资产的收益率变化无关。类似地,两个资产收益率之间的条件协方差也仅仅与这两个资产收益率交叉乘积的历史值有关,与其他资产的变化无关。尽管原则上平滑系数 可以利用具体数据估计出来,但是在实际应用中,通常直接采 …… 此处隐藏：15121字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……