三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库2.12定积分与微积分

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第2章 函数、导数及其应用

第12节 定积分与微积分基本定理

考点 定积分与微积分基本定理

1．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )

A.43

B ．2 C.83 D. 1623

解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几

何意义可得所求的面积是2∫20????1－x 24d x ＝2????x －x 312|20＝83

. 答案：C

2．（2013江西，5分）若S 1＝??12x 2d x ，S 2＝??121x

d x ，S 3＝??12

e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )

A ．S 1<S 2<S 3

B ．S 2<S 1<S 3

C ．S 2<S 3<S 1

D ．S 3<S 2<S 1 解析：本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力．

S 1＝13x 3??? 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ??? 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ???

21

＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.

答案：B

3．（2013福建，4分）当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式：

1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x . 两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x

d x ， 从而得到如下等式：

1×12＋12×????122＋13×????123＋…＋1n ＋1×????12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

C 0n ×12＋12C 1n ×???122＋13C 2n ×???123＋…＋1n ＋1C n n ×???

?12n ＋1＝________. 解析：本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、类比推理能力和运算求解能力．

法一：设f (x )＝C 0n x ＋12×C 1n x 2＋13×C 2n x 3＋…＋1n ＋1

×C n n x n ＋1， 所以f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n ，

所以f ????12＝∫120f ′(x )d x ＝∫120(1＋x )n d x ＝1n ＋1(1＋x )n ＋1120＝1n ＋1????1＋12n ＋1－1n ＋1

(1＋0)n ＋1＝1n ＋1???????

?32n ＋1－1. 法二：C 0n ×12＋12C 1n ×????122＋13C 2n ×????123＋…＋1n ＋1C n n ×???

?12n ＋1 ＝1×12＋12×n ×????122＋13×n (n －1)2×????123＋…＋1n ＋1×n (n －1)×…×2×1n (n －1)×…×2×1×???

?12n ＋1 ＝1n ＋1(n ＋1)×12＋(n ＋1)n 2×????122＋(n ＋1)n (n －1)3×2×????123＋…＋(n ＋1)n (n －1)×…×2×1(n ＋1)n (n －1)×…×2×1×????12n ＋1＝1n ＋1?

???C 1n ＋1×12＋C 2n ＋1×????122＋…＋C n ＋1n ＋1×????12n ＋1 ＝

1n ＋1????????1＋12n ＋1－C 0n ＋1 ＝1n ＋1???????

?32n ＋1－1. 答案：1n ＋1???????

?32n ＋1－1 4．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．

解析：本小题主要考查定积分的计算．∵∫T 0x 2d x ＝13

T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：3

5．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中

任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )

A.14

B.15

C.16

D.17

解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝(23x 32－12x 2)|10＝16

，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16.