9.2 拉普拉斯变换的性质

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换

§9.2 Laplace 变换的性质一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换

§9.2 Laplace 变换的性质在下面给出的基本性质中， 所涉及到的函数的 Laplace

变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c 。且

F ( s)

[ f (t ) ] , G( s )

[ g( t ) ] .

对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。

§9.2 Laplace 变换的性质 第 一、线性性质与相似性质 九 章 1. 线性性质 P216 拉 普 拉 斯 变 换 证明 (略) 性质P216

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 拉 普 拉 斯 变 换

1 f ( t ) sin 2t sin 3t (cos t cos 5t ) , 2[ f (t ) ] 1 ( 2 [ cos t ] [ cos 5t ])

1 s s 2 2 2 s 1 s 25 12 s 2 . 2 ( s 1) ( s 25)

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换

解 F ( s) f (t )

1 1 , s 2 s 1 1

[ F ( s )]

1

[

1 ] s 2

1

[

1 ] s 1

e2t et .

§9.2 Laplace 变换的性质 第 一、线性性质与相似性质 九 章 2. 相似性质(尺度性质) P217 拉 性质 普 拉 证明 斯 变 换

[ f (a t ) ] 令 x at

0

f (a t ) e s t d t

1 a

0

f ( x) e

s x a dx

1 s F . a a

§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质 P222P222

拉 性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有 普 [ f (t )] e s F ( s ) . 拉 斯 变 证明 [ f (t ) ] f (t ) e s t d t 0 换

f (t ) e s t d t

令 x t

0

f ( x ) e s x e s d x

e s F ( s ) .

§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质 拉 性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有 普 [ f (t )] e s F ( s ) . 拉 斯 变 注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f ( t ) 0 这一约定。 换 因此，本性质也可以直接表述为：[ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .

可见，在利用本性质求逆变换时应为： 1

[ e s F ( s ) ] f (t ) u(t ) .

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 方法一 已知 拉 普 拉 斯 变 换 方法二P222 例9.12

方法一 先充零再平移

1 , [sin t ] 2 s 1π s 2 .

根据延迟性质有[ sin(t

1 π )] 2 e 2 s 1π )] 2

sin( t

π π ) u( t ) 2 2

方法二 先平移再充零

[ sin( t

[ cos t ]1 ( s) . 2 s 1π ) u(

t ) 2

sin( t

两种方法为什么会得到不同的结果？ 9

§9.2 Laplace 变换的性质 第 例 设 F ( s ) 1 e 2 s , 求 1[ F ( s ) ] . P223 例9.13 修改 s 1 九 章 1 1 [ ] e t u( t ) , 根据延迟性质有 解 由于 s 1 拉 普 1 拉 [ F ( s ) ] e t 2 u( t 2) 斯 变 e t 2 , t 2 , 换 t 2. 0,

§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质 P223 拉 性质 普 拉 证明 (略) 斯 变 s 1 t [ e cos t ] . 换 例如 2 ( s 1) 11 [ e sin t ] . 2 ( s 1) 1t

§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 P217 九 ▲ 章 1. 导数的象函数 P217 [ f ( t ) ] sF ( s ) f (0) . 性质 拉 普 st st [ f ( t ) ] f ( t ) e d t e d f ( t ) 拉 证明 0 0 斯 st 变 f (t ) e s f (t ) e s t d t , 0 0 换ct 由 | f ( t ) | Me , 有 | f ( t ) e s t | Me ( Re s c ) t , st 因此当 Re s c 时，有 lim f ( t ) e 0 , t

即得

[ f ( t ) ] sF ( s ) f (0) .

§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 九 ▲ 章 1. 导数的象函数 [ f ( t ) ] sF ( s ) f (0) ; 性质 拉 普 一般地，有 拉 斯 [ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) . 变 换 (k ) (k ) f (t ) . 其中， f (0) 应理解为 lim t 0

Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。( §9.4 将专门介绍) 13

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 利用导数的象函数性质来求解本题 拉 普 拉 斯 变 换P218 例9.7

(m) ( m 1 ) f ( t ) m! 有 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 0 以及 由

[ f ( m ) (t ) ]

[ m! ]

s m F ( s ) s m 1 f ( 0 ) s m 2 f ( 0 ) f ( m 1 ) ( 0 )

sm故有

[ f (t ) ] s m

[ t m ],

1 [t ] m sm

m! [ m! ] m s

m! [ 1 ] m 1 . s

§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 九 章 2. 象函数的导数

P218

拉 性质 F ( s ) [ t f (t ) ]; 普 一般地，有 F ( n ) ( s ) ( 1)n [ t n f ( t ) ] . 拉 斯 st 由 证明 F ( s ) f ( t ) e dt 有 0 变 换 d st st F ( s ) f ( t ) e d t [ f ( t ) e ]d t 0 ds 0 s

0

t f (t ) e s t d t

[ t f (t ) ];

同理可得 F ( n ) ( s ) ( 1)n

[ t n f (t ) ] .

§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换P219 例9.8

[ sin t ]

s 2 2

,

根据象函数的导数性质有d [ t sin t ] [ 2 ] 2 ds s

2 s . 2 2 2 (s )