相似矩阵及二次型习题

第五章

习题课

一、向量内积的定义及运算规律定义: 设有n维向量 x1 y1 x y x 2 , y 2 , xn yn 记[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + · + xn yn, 称[x, y]为向量x与y的 · · 内积. [x, y] =xT y. 内积的运算性质 设x, y, z为n维向量, 为实数, 则 (1) [x, y] = [y, x]; (2) [ x, y] = [x, y]; (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]; (4) [x, x] 0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0.

二、向量的长度及性质2 2 2 定义: 令 || x || [ x , x ] x1 x 2 x n , 称||x||为n维向量x的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: || x|| 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0; (2) 齐次性: || x|| = | | || x ||; (3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.

单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x || 0, || y || 0 时, [ x, y] arccos || x || || y || 称为n维向量x与y的夹角.

三、正交向量组的概念及求法1. 正交的概念 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则x与任何向量都正交. 2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组 1, 2, · , r 是n维正交向量组, · · 则 1, 2, · , r 线性无关. · · 定义: 设n维向量组e1, e2, ·, en是向量空间V Rn的 · · 一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ·, en是向量 · · 空间V的一组规范正交基.

若e1, e2, ·, er 是向量空间V Rn的一组规范正交基, · · 则对任意的 a V, 都有: a = 1e1+ 2e2+·+ r er · · 其中 i = [erT, a] = erTa, ( i =1, 2, ·, r ) · · 4. 求规范正交基的方法 设a1, a2, ·, ar 是向量空间V 的一组基. · · (1) 正交化(施密特正交化过程) 取 b1 = a1, [b1 , a 2 ] b2 a 2 b1 , [b1 , b1 ] [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] · · · · · · · · · · · · · · · · · ·[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]

则b1, b2, ·, br两两正交, 且b1, b2, ·, br与a1, a2, ·, · · · · · · ar等价. (2) 单位化, 取b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||

则e1, e2, ·, en是向量空间V的一组规范正交基. · ·

四、正交矩阵与正交变换若n阶方阵A满足ATA = E, 即A-1=AT, 则称A为正交 矩阵. 定理: A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是 单位向量且两两正交. 正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一 个规范正交基.

定义: 若P为正交阵, 则线性变换 y = Px 称为正交 变换. 性质: 正交变换保持向量的长度不变. || y || y T y x T P T Px x T x || x || . 即

五、特征值与特征向

量的概念定义: 设A是n阶方阵, 如果数 和n维非零列向量x 使关系式 Ax = x 成立, 那末这样的数 称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为的对应于特征值 的特征向量. 称以 为未知数的一元n次方程| A– E | = 0为方阵 A的特征方程. 记f( ) = | A– E |, 它是 的n次多项式, 称其为方阵 A的特征多项式.

设n阶方阵A=(aij)的特征值为 1, 2, ·, n, 则有: · · (1) 1 + 2 + · + n = a11 + a22 + · + ann; · · · · (2) 1 2 · n = | A |. · ·

六、有关特征值, 特征向量的一些结论若 是矩阵A的特征值, 则 (1) 是矩阵AT的特征值, (2) m是矩阵Am的特征值(m为正整数); (3) 当A可逆时, 则 -1是逆阵A-1的特征值. 还可以类推: 若 是矩阵A的特征值, 则 ( )是矩阵 多项式 (A)的特征值, 其中 ( )=a0+a1 +·+am m, (A)=a0E+a1A+·+amAm. · · · · 定理: 设p1, p2, ·, pm是方阵A的分别对应于m个互 · · 不相等的特征值 1, 2, ·, m的m个特征向量, 则p1, p2, · · ·, pm线性无关. · ·

注意1: 属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 注意2: 属于同一特征值的特征向量的非零线性组 合仍是属于这个特征值的特征向量; 注意3: 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一, 但一个特 征向量不能属于两个不同的特征值.

七、相似矩阵定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P-1AP = B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似, 对A进行 运算P-1AP, 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把 A变成B的相似变换矩阵. 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

推论: 若n阶方阵A与对角阵 =diag( 1, 2,·, n ) · · 相似, 则 1, 2,·, n 既是A的n个特征值. · · 相似矩阵的性质: 1. 相似矩阵是等价的: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性. 2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P. 其中k1, k2是任意常数 3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P). 4. 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). (A)=a0PP-1+a1PBP-1+·+amPBmP-1 · · =P(a0E+a1B+·+amBm)P-1 =P (B)P-1. · · 即相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵. 特别当矩阵A与对角阵 =diag( 1, 2,·, n )相似时, · · 则 Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.

结论: 若f( )为矩阵A的特征多项式, 则矩阵A的多 项式f(A)=O. 定理2: n阶矩阵A与对角矩阵 相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

k 1 k 2 ; k = k n

而对于对角阵 , 有

( 1 ) ( 2 ) . ( )= ( n )

八、实对称矩阵的性质定理1: 对称矩阵的特征值为实数. 定理2: 设 1, 2是对

称矩阵A的两个特征值, p1, p2 是对应的特征向量, 若 1 2, 则p1与p2正交.

定理3: 设A为n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根, 则矩阵(A– E )的秩R(A– E ) = n–r, 从而对应特 征值 恰有r 个线性无关的特征向量. 定理4: 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 P-1AP = , 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对 角矩阵.

九、二次型及其标准形的概念定义: 含有n个变量x1, x2, ·, xn的二次齐次函数 · · f(x1, x2, ·, xn)=a11x12+a22x22+·+annxn2 · · · · +2a12x1x2+2a13x1x3+·+2an-1,nxn-1xn · · 称为二次型. 只含有平方项的二次型 f(x1, x2, ·, xn)=k1y12+k2y22+·+knyn2 · · · · 称为二次型的标准形(或法式).

a11 a12 a 若记 A 21 a 22 a n1 a n 2

a1 n a 2 n , a nn

x1 x x 2 , xn

则二次型可记作 f =xTAx, 其中A为对称矩阵(矩阵表示). 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵, f 叫做对称矩阵 A的二次型, 对称矩阵A的秩叫做二次 …… 此处隐藏：2940字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……