不可压缩流体动力学基础

第七章 不可压缩流体动力学基础§7-1 流体微团运动的分析 §7-2 有旋流动 §7-3 不可压缩流体连续性微分方程 §7-4 以应力表示的粘性流体运动 微分方程 §7-5 应力和应变速度关系

第七章 不可压缩流体动力学基础§7-6 纳维-斯托克斯方程(N-S方程) §7-7 理想流体运动微分方程及其积 分 §7-8 流体运动的初始条件和边界条件

§7-9 不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件

§7-1 流体微团运动的分析对于不可压缩流体，质量守恒就是体积守恒， 即：在dt时间内流进和流出微元控制体的净流体体积为零 (没有质量的堆积和消耗)。

三元流动的基本方程u xu y

连续性微分方程 运动微分方程 能量微分方程

流体微团运动u xu y

平移 线变形(拉伸) 变形 角变形(剪切) 旋转

微团运动的组成分析平移速度 u 线变形速度 角变形速度 旋转角速度x

, uy, uz

xx , yy , zz

单位时间微团一方向的相对线变形量。 xy , yz , zx

x, y, z

§7-1 流体微团运动的分析1、平移：ux、uy、uz 2、变形：取一个正方形的微团,设其中心点 M的流速为ux,uy. 根据连续函数的特征,微团 四周的中点速度可用中心 点的流速来表示。

M

A

B u x y u y y

C

D u x dy y 2

ux uy

ux

u x x

dx 2

ux uy

dy 2

ux

u x x

dx 2

ux

u y dx uy x 2

dy 2

u y dx uy x 2

u y dy uy y 25

§7-1 流体微团运动的分析(a)线变形 A点与C点，沿x方向的速度差为

u x x

dx

若差值>0,则，微团沿x方向拉伸。 线变形： 若差值=0,则，微团在x方向无变形。 若差值<0,则，微团沿x方向缩短。线变形速度ε:单位时间，单位长度的线变形。 对x方向： xx

u u

x

u x

xy

xx

x

dx dt

u x x

推广到三元情况：

yy

dx dt

y u zz

由此对于连续性方程：

zz

u x x

u y yyy

u z zzz

0

ε:也可以看作是单位体积的膨胀速度。

xx

0

不可压缩流体在流动过程中，其体积膨胀率为0。6

§7-1 流体微团运动的分析(b) 角变形AMC线上，A、C两点在y方向上有一个增量 u y x dx

(C点大，逆时针转) (B点大，顺时针转)

BMD线上，B、D两点在x方向上有一个增量

u x y

dy

在这两个增量的作用下，微团就会绕M点旋转。 如果这两个增量相等，则产生纯旋转运动。 如果这两个增量不相等，就会产生角变形。 由于原来相互垂直的两条边的角速度不相同，

因此， 往往取平均值来表示角速度，即对角线的角速度

M ux uyux

A u x x uy

B dx 2 dx 2uy

C dy 2 dy 2

D dx 2 dx 2uy ux u x y u y y dy 2 dy 2

ux

u x y u yy

ux

u x x uy

u

y

x

u

y

x

§7-1 流体微团运动的分析把这种运动分解为两种基本的运动，即：先绕M点作无角变形的旋转运动，然后， 由于过M点各直线的旋转角速度不相等而产生角变形运动，使方形变成菱形。

θ

θ θ

规定：逆时针为正；顺时针为负。

则沿AMC线的旋转角速 度(线速度/半径)为： uy

沿BMD线的旋转角速度 (线速度/半径)为：

x 2 dx 2

dx uy

x

u x y8

§7-1 流体微团运动的分析对角线EMF的旋转角速度是AMC和BMD旋转 角速度的平均。用ωz表示(右手系)。

x

1 2

(

uz y u x z uy

u z

y

z

u x 1 u y ( ) 2 x y

推广到三元情况：

y

1 2

(

uz x u x y

角速度矢量和角速度的大小可表示为：

z

1 2

(

x

) ) )

角变形速度：直角边AMC或(BMD) 与对角线EMF的夹角的变形速度。

xy yx

1 u y u x 1 u y u x z ( ) ( ) x x 2 x y 2 x y

u y

u y

§7-1 流体微团运动的分析 对于三元流动， 流体微团的角变 形速度为：xy

yx

1 2

(

u z y u x z u x y

u z

y

xz

zx

1 2 1 2

(

u z x uy

zy

yz

(

x

) ) )

其中：下标表示发生角变形 所在的平面

不论多么复杂的运动都可以把它分解为四种基本运动形式。 在流体微团中，如果某点M0(x,y,z)的流速 为ux0,uy0,uz0,那么在该点附近M点的速度就 可以用M0点的参数来表示。

u x u x 0 du u y u y 0 du u z u z 0 du z

x y

把dux按泰勒级数展开：

du

x

(

u x x

) M 0 dx (

u x y

) M 0 dy (

u x z

) M 0 dz10

§7-1 流体微团运动的分析把该式代入上式，得：ux ux0 ( 1 2 u x z u x x ) M 0 dx ) M 0 dz 1 2 1 2 ( ( u x y u y x uz x ) M 0 dy 1 2 ( u x y u y x ) M 0 dy

(

uz x

u x z

) M 0 dz

对应前面所定义的各种速度，得：

u x u x 0 z dy y dz uy

xx

dx dy dz

xy

dy dz dx

xz

dz dx dy

u

y0

x dz z dx

yy

yz

yx

u z u z 0 y dx z dy

zz

zx

zy

-------亥姆霍兹速度分解定理。

即：流体微团的

运动=平移运动+旋转运动+线变形运动+角变形运动11

§7-2 有旋流动 流体运动的两种形式：有旋流动和无旋 流动。 无旋流动：如在运动中，流体微团不存 在旋转运动，即旋转角速度为零。 x

u y 1 u z y 2 z u z 1 u x 2 z x

= 0 = 0 = 0

u z y u x z u y x

=

u y z u z x u x y

观看录像>> 观看录像>>

y

=

z

u x 1 u y x 2 y

=

§7-2 有旋流动流动是否有旋不是看它轨迹线的形状， 而要看它的流体微团的运动情况 为了描述有旋流动，我们需要引入一个 新的变量即涡量Ω,它是一个矢量。 定义式为角速度的2倍：

其中Ωx,Ωy,Ωz分别为涡量在x、y、z 坐标方向上的投影。由角速度的定义可知 x

uz y u x z uy

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