09 质点动力学基本方程

第三篇 动力学

九、质点的运动微分方程

9.1 三个质量相同的质点，在某瞬时的速度分别如图所示，若对它们作用了大小、方向相

同的力F，问质点的运动情况是否相同?

F

F

(b)

v0

(c)

v0

(a)

[解] 三个质点质量相同，受力相同，其运动微分方程相同，但初始条件不相同，故运动情况不相同。

9.2 如图所示，管OA内有一小球M，管壁光滑。当管OA在水平面内绕铅直轴O转动

时，小球为什么向管口运动?

[解] 研究小球，受力如图，小球在y轴方向不受力。取小球M为动点，套管为动系，有

n

aa aen ae ar aC且ae 2y，ae y，

由 maa

F， 投影至y轴上得ma

i

ay

0,m(ar aen) 0,

nar ae 2y显然 ar

dvr

2y 0 dt

t

积分vr ydt 0 小球向管口运动。

2

9.3 如图所示物块A置于锥形圆盘上，离转动轴的距离为r = 20cm，如物块与锥

面间的摩擦系数为f = 0.3，问圆盘的每分钟转速应在什么范围内，方能使物块在锥面上保持平衡，假定角速度改变很慢，角加速度可忽略不计。

(a)

[解] 取物块A为研究对象，考虑A下滑的临界状态，最大静摩擦力方向沿斜面向上，受力如图(b)。由 ma

F，分别向x、y方向投影

i

2oo

mr FNsin30 Fmacos30x oo

0 FNcos30 Fmaxsin30 mg

Fmax fFN

(sin30o fcos30o)

g 解得：r oo

(cos30 fsin30)

2

3.4(rad/s) ，n

30

32.52(r/min)

考虑 A上滑的临界状态，最大静摩擦力方向沿斜面向下（将图(b)中的Fmax反向即可）

2oo

mr FNsin30 Fmacos30xoo

(sin30 fcos30) 2oor g， oo 0 FNcos30 Fmaxsin30 mg 解得：(cos30 fsin30)

Fmax fFN

7.2(rad/s) ， n

30

68.89(r/min)

所以转速的范围为 32.52(r/min) n 68.89(r/min)

9.4 图示质量为m的球M，为两根各长l的杆所支持，此机构以不变的角速度ω绕铅直轴AB转动。如AB=2a，两杆的各端均为铰接，且杆重忽略不计，求杆AM、BM的内力。

M

x

M

g

[解]

取小球为研究对象，小球作匀速圆周运动，加速度an

由 ma

F，分别投影

i

ml 2

F (a g)AM x:man (FAM FBM)cos 2a

解得：

y:0 (FAM FBM)sin mgml F (a 2 g)BM 2a

9.5 图示质点的质量为m，受指向原点O的力F=kr作用，力与质点到点O的距离成正

比。如初瞬时质点的坐标为x x0，y 0，而速度的分量为vx 0,vy vo。试求质点的轨迹。

o

[解] 取球M为研究对象，受力如图，坐标为(x,y) 即F kr而r xi yj投影得

Fx kx,Fy ky

2

mx Fx kx x nx 0

由ma Fi得 2my F ky y y ny 0

式中 n

2

k

m

t 0,x xo,y 0,x 0,y vo

x C1cos nt C2sin nt 通解 由初始条件vo，

C x,C 0,C 0,C y Ccos t Csin t1o2343n4n

n

x xocos nt,y

vo

n

sin nt

x2ky2

1 即质点的轨迹为椭圆。 消去时间t: 2 2

x0mv0

9.6 不前进的潜水艇重Q，受到较小的沉力P (重力与浮力的合力)向

水底下沉。在沉力不大时，水的阻力FR kAv，其中k为比例常数，A为潜水艇的水平投影面积，v为下沉速度。如当t=0时，v=0。求下沉速度和在时间T内潜水艇下潜路程s。

v

[解] 视潜艇为一质点，受力如图，有

ma P FR P kAv ，a

dvdy

,v dtdt

Qdv

gdt P kAv0

kAg

tQv

t

Qdv

P kAv,分离变量，积分 gdt

kAgtPv

ln(P kAv)|0 t|0 得 v (1 e

QkA

)

P

再积分一次 dy (1 e

kA00

sT

kAg

tQ

)dt，

PQ

[T (1 e得：y kAkAg

KAg

TQ

)]

KAg

TQ

PQ

[T (1 e即在时间T内潜水艇下沉的路程s kAkAg

)]

9.7 图示机构处于铅直平面内，滑块B重G =9.8N， 在摇杆与水平线成 30o时，

2rad/s

2

， 2rad/s，转向如图。求导槽的约束反力及销钉与摇杆间的压力。

摇杆质量不计。所有摩擦忽略不计。

(a)

(b)

N1

(c)

[解] 1. 以B销为动点，OA杆为动系，由va ve vr，速度图如图(a)，

vr vetan30o OB

n

0.5 2 (m/s) 333

由aa ae ae ar aC,加速度图如图(b) 投影至 轴上得 aacos30 ae aC

o

a

e OB 0.5 2 1(rad/s2)aC 2 vr 2 2

(m/s2) 3

ae aC2

aa 3.82(m/s)( ) o

cos30

2. 对滑块B受力分析如图(c)，有

max Fx,0 FN1 FN2sin30o

may Fx,

G

aa FN2cos30o G g

解得FN1 7.86N，FN2 15.73N

即导槽的约束反力为15.73N；摇杆间的压力为7.86N。