1-向量范数与矩阵范数

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§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 要介绍向量范数与矩阵的范数（模），用于描述 向量与矩阵的大小。 (1) 向量的范数

R 3 中的任意向量 对于空间直角坐标系

X ( x1 , x2 , x3 )T

，其长度为

X ( x12 x22 x32 )1/ 2

我们用其度量向量的“大小”。

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实质上是向量 X 的一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R 3 ，都有 X 0 当且仅当 X 0 ，有 X 0 (2齐次性). 对任意 a R 和向量

aX a X

X R3

,

(3三角不等式). 对任意 X , Y R3 ,都有

X Y X Y

将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。

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定义1 设

N(X ) X

是定义在 R n 上的实值函数，

X 0, X 0

如果它满足三个条件：

① 非负性，即 ② 齐次性，即 则称 N ( X ) X 为

Rn

当且仅当

(a R)

X 0

aX a X

③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有

X Y X Y

上向量 X 的范数（或模）。

最常用的如下3种向量范数： n X 1 xi 向量 X 的1—范数： i 1 n X 2 ( xi 2 )1/ 2 向量 X 的2—范数： i 1 X max xi 向量 X 的 范数： 1 i n

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下面只证 X 2 是向量范数： 证明： （1）由向量的2—范数有

X

2 2 2 x12 x2 xn 0

满足定义中条件① （2）对任一 k R 有

kX

2

(kxi ) 2 k 2 xi2 k

i 1 i 1

n

n

xi2 k X

i 1

n

2

满足定义中条件②

由 X 2 的含义，可用内积表示，即

X

2

XTX

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（3）任取向量 y R

X Y

2 2 T

n

，则有

2 2

(X Y) (X Y) X

2X Y Y

T

2 2

根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式

( X T Y )2 ( X T X )(Y T Y )

有

X Y

2 2

X

2 X 2

2

2

Y

Y 2

2 2

( X

Y 2 )2 2

满足定义中条件③。证毕

向量的2—范数也称为Euclid范数。

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其实，向量的1—范数， 2—范数， 范数，

它们都是p—范数

X

p

( xi )

i 1

n

1 p p

的特例，其中，正整数

p 1

，并且有

lim X

p

p

max xi

1 i n

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容易验证 R n 的3种范数之间有如下关系： X 2 X 1 n X 2

X X

X X

2 1

n X n X

下面验证第2式 设 X ( x1 , x2 , , xn )T ，则

2

X

[max{x1 , x2 , , xn }]2 max{x1 , x2 , , xn } xi X

2 2 2 2 i 1 n 2 2

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于是有 X

X

2 2 n i 1

X

2

2

，又

2 2 2 2

xi n max{x1 , x2 , , xn } n X

即有 X 2 n X

，故有 X

X

2

n X

例5 设 X ( 1, 2, 3) ，求 X 1 , X 2 , X 解：由向量 X 的1，2， 范数定义

X X X

1

1 2 3 6 ( 1) 2 ( 3) 14

2 2 2

2

max{ 1 , 2 , 3} 3

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(2) 矩阵

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