2.3.1平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

2.3.1平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=2．运算定律 结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb

3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.

二、讲解新课：1．思考：（1）给定平面内两个向量e1，e2，请你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，

（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.

2．定理说明：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

3．讲解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量 2.5e1+3e2

例2

如图， 、 不共线,且 t AB(t R), 用 表示 .

本题实质是 已知O、A、B三点不共线，

若点 P 在直线 AB 上，则 m n, 且 m n 1.

4．练习1：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )

A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)

2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ ）

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．

(填共线或不共线).

5．向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OA a，OB b，则∠AOB＝ ，叫向量a、

b的夹角，当 =0°，a、b同向，当 =180°，a、b反向，当 =90°，a与b垂直，

记作a⊥b。

6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一

个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1 a xi yj…………○

2 我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a (x,y)…………○

2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相．

等的向的坐标也为．．．．．．．．(x,y). 特别地，i (1,0)，j (0,1)，0 (0,0).

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作 a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA xi yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

7．讲解范例：

例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.

8．课堂练习：P100页第3题。

三、小结：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：P101页第1题