广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题5 第21课时 圆锥

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专题五 解析几何

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考点1 考点 圆锥曲线的定义例1 (1) 在平面直角坐标系xOy,已知 ABC的顶点A ( 4, 0 ) x2 y2 sin A + sin C 和C ( 4, 0 ),顶点B在椭圆 + = 1上，则 = 25 9 sin B ________ . x2 y2 x2 ( 2 )已知椭圆 + = 1与双曲线 y 2 = 1的公共焦点为 6 2 3 F1,F2,点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1 PF2的值为 ( ) 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 9 3 D. 5

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sin A + sin C a + c 切入点： )由三角形正弦定理 = (1 b sin B BC + BA = ,由椭圆定义可得BA + BC的值； AC ( 2 ) 从椭圆、双曲线的定义入手求解.

解析 (1)由椭圆定义可知BA + BC = 2 × 5 = 10, b = AC = 8, sin A + sin C 10 5 = = . 所以 sin B 8 4

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( 2 )因为P在椭圆上，所以PF1 + PF2 = 2PF1 PF2 = 2 3. ②

6,

①

设PF1 > PF2,则① + ②得PF1 = 6 + 3,PF2 = 6 3. 由余弦定理，得 PF1 + PF2 F1 F2 cos∠F1 PF2 = 2 PF1 PF22 2 2

( 6 + 3) 2 + ( 6 3) 2 16 1 = = . 3 2( 6 + 3)( 6 3 )

5 答案： (1) 4

(2)B

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1.涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的 距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定 义.涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利 用定义转化到抛物线的准线的距离. 2.要注意挖掘椭圆、双曲线、抛物线的 定义中的隐含条件.如双曲线的定义中||PF1||PF2||=2a , 只 有 当 |F1F2|>2a>0 时 才 表 示 双 曲 线.

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x2 y2 变式1 已知椭圆C: + = 1,F1、F2是其左、右焦点. 12 4 (1) 若Q为椭圆上的动点，求cos∠F1QF2的最小值；

( 2 ) 若A1、A2分别是椭圆长轴的左、右端点，Q为椭圆上1 1 的动点，设直线A1Q的斜率为k,且k ∈ ( , ),求直 2 3 线A2Q的斜率的取值范围.

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解析 (1) 设椭圆 C的半长轴长、半短轴长、半焦距 分别为 a、 b、 c, | 则有 a = 2 3, b = 2, c = 2 2,F1 F2 |= 2c = 4 2. 由椭圆的定义，有 QF1 + QF2 = 2a = 4 3. cos∠ F1QF2 = QF1 + QF2 F1 F22 2 2

2 QF1 QF2

( QF =

1

+ QF2

)

2

F1 F2 2 QF1 QF22

2 QF1 QF2

4b 2 b2 1 ≥ 1 = 2 2 1 = , QF1 + QF2 2 a 3 2( ) 2

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1 所以cos∠F1QF2的最小值为 . 3 (当且仅当 QF1 = QF2 时，即Q取椭圆的上、下顶点时，

( 2 ) 设直线A2Q的斜率为k ′,Q( x0,y0 ),2 y0 则k = ,k ′ = ,所以k k ′ = 2 . x0 12 x0 + 2 3 x0 2 3

cos∠F1QF2取得最小值. ) y0

y0

2 2 x0 y0 b2 1 = 1,则k k ′ = 2 = . 又 + 12 14 a 3 1 1 2 因为 < k < ,所以 < k ′ < 1. 3 2 3 2 故直线A2Q的斜率的取值范围为( ,. 1) 3

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考点2 考点 圆锥曲线的几何性质x2 y 2 例2(2011 惠州三模)设椭圆 2 + 2 = 1(m > 0,n > 0)的右 m n 1 2 焦点与抛物线y = 8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭 2 圆的方程为( ) x2 y 2 A. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 48 64 x2 y 2 B. + =1 12 16 x2 y2 D. + =1 64 48

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切入点：方程中参数a,b,c,e的关系式.解析 由抛物线的焦点是

( 2, 0 ) 可以得到椭圆的半焦距为 c 1 1 2,又因为椭圆的离心率为 ，即 = ,所以a = 4,b 2 2 a 2 = a 2 c 2 = 12,所以选A. 答案：A

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1.求椭圆、双曲线的离心率及其范围，常将 条件转化为关于a和c的方程或不等式，然后再转化 为e的方程或不等式进行处理. 2.在解决与椭圆、双曲线的离心率有关的问 c 题时，除了用好离心率公式e = 外，还要注意用 a 好其他几何性质，如本题建立关于a,c的不等式的 关键是利用了椭圆的存在范围.

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3.离心率是圆锥曲线的重要性质.对椭圆而 c a 2 b2 b2 2 言，由e = = = 1 ( 2 ) ,可发现e对椭 a a a 圆形状的影响，同时它反映了e与a,b的联系，给出 了离心率，也就给出了a,b之间的一个关系.

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x2 y 2 变式2(2010 广州二模)已知双曲线C: 2 2 = 1( a > b > 0 ) a b 和圆O:x 2 + y 2 = b 2 (其中原点O为圆心),过双曲线C上一 点P ( x0,y0 )引圆O的两条切线，切点分别为A,B.若双曲线 C上存在点P,使得∠APB = 90°,求双曲线离心率e的取值 范围.

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b 解析 因为a > b > 0,所以 < 1. a

c a 2 + b2 b2 b 2 e= = = 1 + 2 = 1 + ( ) < 2. 2 a a a a

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由∠APB = 90°及圆的性质可知四边形PAOB为正方形， 所以 OP = 2b. b 2 因为 OP ≥ a,即 2b ≥ a,所以 ≥ , a 2 b2 1 6 所以e = 1 + ≥ 1+ = , a 2 2 6 所以双曲线离心率e的取值范围为[ ,2). 2

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考点3 考点 圆锥曲线的最值问题例3: (2010 福建卷)若点O和点F ( 2, 0 ) 分别是双曲线 x2 y 2 = 1( a > 0 )的中心和左焦点，点P为双曲线右 a2 uuu uuu r r 支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ) A. 2 3, ∞) [3 + 7 C. , ∞ ) [ + 4 B. + 2 3, ∞) [3 + 7 D. , ∞) [ + 4