6第六章 参数估计和假设检验

刘建亚版本 概率统计

第六章

参数估计和假设检验

第一节

参数的点估计

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一、点估计问题的提法设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个 或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. 例1

在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的

次数 X 是一个随机变量 假设它服从以 0 为参 , 数的泊松分布, 参数 为未知, 设有以下的样本值 , 试估计参数 .

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着火次数 k 发生 k 次着 火的天数nk解6

0

1

2

3

4 5 6

75 90 54 22 6 2 1 250所以 E ( X ).

因为 X ~ P( ),

用样本均值来估计总体的均值 E(X).1 x 6 (0 75 1 90 2 54 3 22 250 nk 4 6 5 2 6 1) 1.22. k 0

knk k 0

故 E ( X ) 的估计为1.22 .

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点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已知, 是待估参数 . X 1 , X 2 , , X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 , , xn 为相应的一个样本值 .

点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ( X 1 , X 2 , , X n ), 用它的观察值 ( x1 , x2 , , xn ) 来估计未知参数 . ( X 1 , X 2 , , X n )称为 的估计量. 通称估计, ( x1 , x2 , , xn )称为 的估计值. 简记为 .

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例2

在某纺织厂细纱机上的 断头次数 X 是一个

随机变量, 假设它服从以 0 为参数的泊松分布, 参数 为未知, 现检查了150只纱锭在某一时间段 内断头的次数, 数据如下, 试估计参数 .断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk 0 1 2 3 4 5 6 45 60 32 9 2 1 1 150

解 先确定一个统计量 X , 再计算出 X 的观察值 x ,

把 x 作为参数 的估计值.x 1.133 .

的估计值为 1.133.

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估计量的求法由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法.

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二. 矩估计法设 X 为连续型随机变量 , 其概率密度为 f ( x; 1 , 2 , , k ), 或 X 为离散型随机变量 , 其分布律为 P { X x } p ( x; 1 , 2 , , k ), 其中 1 , 2 , , k 为待估参数 ,

若 X1 , X 2 , , X n 为来自 X 的样本， 假设总体 X 的前 k 阶矩存在,

且均为 1 , 2 , , k 的函数, 即

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l E ( X ) x l f ( x; 1 , 2 , , k )dx (X为连续型) l

或 l E ( X l )

x RX

x l p( x; 1 , 2 , , k ), (X为离散型)

其中 RX 是 x 可能取值的范围, l 1,2, , k 1 n l 因为样本矩 Al X i 依概率收敛于相应的 n i 1总体矩 l ( l 1, 2, , k ),

样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数.

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矩估计法的定义 用样本矩来估计总

体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: 令 l Al , l 1, 2, , k .

这是一个包含k 个未知参数 1 , 2 , , k 的方程组, 解出其中 1 , 2 , , k . 用方程组的解 1 , 2 , , k 分别作为 1 , 2 , , k 的估计量, 这个估计量称为矩估计 量.

矩估计量的观察值称为矩估计值.

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例3

设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中

( 0) 未知, ( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体 X 的样本, 求 的估计量.因为 1 E ( X ) , 2 根据矩估计法, 令 A1 X , 2解

所以 2 X 为所求 的估计量.

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例4

设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布 其中a , ,

b 未知, ( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体X的样本, 求a , b 的估计量.a b 1 E ( X ) 解 , 2 a b 2 a b 2 , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4 n a b 1 令 A1 X i , 2 n i 1 1 n 2 (a b)2 (a b)2 A2 X i , n i 1 12 4

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a b 2 A1 , 即 2 b a 12( A2 A1 ) .

解方程组得到a, b的矩估计量分别为

3 n ( X i X )2 , a A1 3( A2 A1 ) X n i 12

3 n A1 3( A2 A12 ) X ( X i X )2 . b n i 1

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例6.1.2 设总体 X 的均值 和方差 2 都存在, 且有

2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 , , X n 是一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 1 E ( X ) , 解 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 2 , A1 , 令 2 2 A2 . 解方程组得到矩估计量分别为 A1 X ,1 n 1 2 2 A2 A1 X i 2 X 2 ( X i X )2 . n i 1 n i 1n

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例6.1.3

( 1) x , 0 x 1 设总体X 的概率密度为f ( x; ) , 其他 0, 其中 >-1是未知参数，X 1 , X 2 , , X n是来自该总体的样本， 试求 的矩估计.

解：

E( X )

1 xf ( x)dx x( 1) x dx 0 21

2E ( X ) 1 1 E( X )

2 X 1 1 X

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三. 最大似然估计法(1) 设总体 X 属离散型似然函数的定义

设分布律 P{ X k } p( x; ), 为待估参数, , (其中 是 可能的取值范围 ) X1 , X 2 , , X n是来自总体X 的样本,则 X 1 , X 2 , , X n 的联合分布律为 p( xi ; ).i 1 n

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又设 x1 , x2 , , xn 为相应于样本 X 1 , X 2 , , X n 的 一个样本值.

则样本 X1 , X 2 , , X n 取到观察值x1 , x2 , , xn 的概率,即事件 X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn 发生的概率为

L( ) L( x1 , x2 , , xn ; ) p( xi ; ), ,i 1

n

L( )称为样本似然函数.