【高中数学选修2-1】3.2立体几何中的向量方法(1)

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3.2 立体几何中的向量方法(1)----直线的方向向量与平面的法向量

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立体几何中的向量方法(一) 前面,我们把 推广到 平面向量 空间向量向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题( 研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.

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问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的 位置？ ⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量

OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量.

P

O

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⑵直线空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

P a

点A是直线l上一点，向量a 表示 直线的方向(方向向量 ) .在直线l 上取 AB a , 那么对于直线l上任意 一点P,一定存在实数 t,使得：

BA O

AP t AB

OP OA t AB

OP xOA y OB x y 1 这样，点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体表 示出 直线l上的任意一点 .

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例1:已知两点(, A 1 - 2, 3),( B 2, 1, - 3),求A,B连线与 三坐标平面的交点。

分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C (0,y1,z1), 由OC ( 1 t) OA tOB得

(0,y1,z1)( 1 t) (1,-2,3) t (2,1,-3) (0,y1,z1) (1 t, - 2 3t, 3- 6t) OC (0, 5, 9)同理可得

5 7 1 ,0, 1 , , ,0 3 4 4

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⑶平面空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确 定。 如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向 量分别为a,b,点P为平面α上任意一点。

由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得

OP x a y b

P 这样，点O与向量 b O a,b不仅可以确定平面α a 的位置，还可以具体表 示出α内的任意一点。 这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。

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⑶平面空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确 定。 如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向 量分别为a,b,点P为平面α上任意一点。

由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得

OP x a y b

除此之外, 还可以 用垂直于平面的直线 的方向向量(这个平面 的法向量)表示空间中 平面的位置.

O

b a

P

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平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 面 ,记作 n ⊥ ,如果 n⊥ ,那 么 向 量 n叫做平面 的法向量.l

n

给定一点A 和一个

向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是唯一确定的.A几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的法向量不唯一， 但所有的法向量都互相平行 ; 3.向量 n是平面的法向量，向 量 m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0

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问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z )⑵找出(求出) 平面内的两个不共线的向量， 并求其坐标： a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) n a 0 ⑶根据法向量的定义建立方程组 n b 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

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问题:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z ) ⑵找出(求出) 平面内的两个不共线的向量， 并求其坐标： a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立方程组 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. n a 0 n b 0

例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平 面 的一个法向量.解：设平面 的一个法向量n x, y, z .∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)

∴ AB (1, 2, 4), AC (2, 4, 3)

依题意,有

n AB 0 n AC 0

即

x 2 y 4z 0 2 x 4 y 3z 0

x 2 y 解得 z 0

取y=1,则x=2

所以，平面 的一个法向量是 n (2,1,0)

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练习： 在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),

求平面ABC的一个法向量。

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思考： 例2:已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。

1 2 2 1 2 2 , , 或 - , ,- 3 3 3 3 3 3

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小结 直线的方向向量和平 面的法向量是用空间向量 解决立体几何问题的两个 重要工具,是实现空间问题 的向量方法的媒介.