2014届高三一轮数学(理)复习第6讲函数的性质(二)——奇偶性、周

第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、

周期性、对称性

1.下列函数中，所有奇函数的序号是 (1)f(x)=2x4+3x2; 1-x (3)f(x)=lg ; 1+x (2)f(x)=x3-2x; (4)y=sin x+tan x.

.

解析：利用奇函数定义判断，易知(2)(3)(4)是奇函数.

2.(改编)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函 数，则下列结论恒成立的是( B ) A.f(x)+|g(x)|是奇函数 B.f(x)-|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

解析：由条件知 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 令 F(x)=f(x)-|g(x)|, 则 F(-x)=f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|-g(x)|=f(x)-|g(x)|, 所以 f(x)-|g(x)|是偶函数，故选 B.

3. (改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数， 7 当 x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则 f( )= 2 .

7 7 3 3 1 1 解析：f( )=f( -2)=f( )=f( -2)=f(- )=f( ) 2 2 2 2 2 2 1 =2× -1=0. 2

4.(改编)设函数 y=f(x)(x∈R 的图象关于直线 x=1 对称， 3 且 x∈[0,1]时，f(x)=x ,则 f( )=( B ) 22

1 A. 2 3 C. 4

1 B. 4 9 D. 4

解析：因为函数 y=f(x)(x∈R)的图象关于直线 x=1 对 3 1 1 1 称，所以 f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ),故选 B. 2 2 2 2

一

函数奇偶性的判定【例 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x

(2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 1-x2 (3)f(x)= ; |x+2|-2 x2+2 x>0 (4)f(x)= 0 x=0 -x2-2 x<0

.

1-x 解析：(1)由 ≥0,得-1<x≤1, 1+x 1-x 所以函数 f(x)=(x+1)· 的定义域是(-1,1],不关于 1+x 原点对称，所以函数 f(x)是非奇非偶函数. x2-1≥0 (2)由 ,得 x=± 1, 2 1-x ≥0

所以函数 f(x)的定义域是{-1,1},此时 f(x)=0, 所以 f(x)= 1-x2+ x2-1既是奇函数又是偶函数.

1-x2≥0 (3)由 ,解得-1≤x<0 或 0<x≤1,它关于 |x+2|-2≠0

原点对称，且此时|x+2|-2=x+2-2=x, 1-x2 从而 f(x)= , x 1- -x 2 1-x2 从而 f(-x)= =- =-f(x), x -x 1-x2 所以 f(x)= 是奇函数. |x+2|-2

(4)当 x>0 时，-x<0, 则 f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当 x<0 时，-x>0, 则 f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时，f(x)=0=-f(-x). 综上有，对一切实数 x,f(-x)=-f(x)恒成立， x2+2 x>0 故 f(x)= 0 x=0 2 -x -2 x<0

是奇函数.

【拓展演练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=(x-2) 2+x ; 2-x

lg 1-x2 (2)f(x)= 2 ; |x -2|-2 x+2 x<-1 (3)f(x)= 0 |x|≤1 -x+2 x>1

.

2+x 解析：(1)由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不 2-x 对称，故 f(x)为非奇非偶函数. 1-x2>0 (2)由 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1), |x -2|-2

≠0

lg 1-x2 lg 1-x2 这时 f(x)= =- . x2 - x2-2 -2 lg[1- -x 2] lg 1-x2 因为 f(-x)=- =- =f(x), x2 -x 2 所以 f(x)为偶函数.

(3)x<-1 时，f(x)=x+2,-x>1, 所以 f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x), 当 x>1 时，f(x)=-x+2,-x<-1, 所以 f(-x)=-x+2=f(x). 娄-1≤x≤1 时，f(x)=0,-1≤-x≤1, 所以 f(-x)=0=f(x). 所以对定义域内的每一个 x 都有 f(-x)=f(x). 因此 f(x)是偶函数.