利用导数求参数的取值范围

高三数学

利用导数求参数的取值范围

课型：专题复习课

复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围

基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条件的应用．

复习难点：解题方法灵活变通．

一． 已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上

例１．设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R．

(1)若f(x)在x 3处得极值,求常数a的值.

(2)若f(x)在( ,0)上为增函数,求a的取值范围

略解：（１）由f'(3) 0解得a 3.经检验知a 3时,x 3为f(x)的极值点 （２）方法１：f'(x) 6x2 6(a 1)x 6a 6(x a)(x 1)

当a 1时,f(x)在( ,1),(a, )上递增,符合条件.

当a 1时,f(x) 6(x 1)2 0恒成立,f(x)在( , )上递增.

当a 1时,f(x)在( ,a),(1, )上递增,要保证f(x)在( ,0)上递增,则0 a 1综上所述.a 0时,f(x)在( ,0)上递增.

方法２：

因为f(x)在( ,0)上递增

所以f'(x) 0在x ( ,0)上恒成立即x(x 1) a(x 1)在x ( ,0)上恒成立 x 0, x 1 0 x a从而a 0

方法３．

保证f'(x) 6x2 6(a 1)x 6a在( ,0]上最小值大于或等于零 a 1 a 1 0 0

故有 2或 2

f'(0) 0 0 可解得a 0

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解题方法总结：求f'(x)后，若能因式分解则先因式分解，讨论f'(x)=0两根的大小判断函数f(x)的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 基础训练：

1.设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1(1).求f(x)的单调区间;(2).讨论f(x)的极值.

类型2．参数放在区间边界上

例２．已知函数f(x) ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值,曲线y f(x)过原点和点ｐ(-1,2),若曲线y f(x)在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45 且切线的倾斜角为钝角.

(1) 求f(x)的表达式

(2) 若f(x)在区间[2m-1,m+1]上递增,求m的取值范围.

略解 (1)f(x) x3 3x2

(2)f'(x) 3x2 6x 3x(x 2)可知f(x)在( , 2),(0, )上递增,在( 2,0)上递减从而只要保证[2m 1,m 1]是( , 2)或(0, )的一个子区间

m 1 2 2m 1 0 所以 或

m 1 2m 1 m 1 2m 1

1

解得m ( , 3] [,2]

2

总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. 基础训练：

2.已知函数f(x) x3 3x2 7,若f(x)在[a,a 1]上单调递增,求a的取值范围. 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上

2

例3.已知f(x) x3 ax2 bx c在x 与x 1时都取得极值

3

(1) 求ａ、ｂ的值及函数f(x)的单调区间．

(2) 若对x [ 1,2],不等式f(x) c2恒成立，求ｃ的取值范围．

1

略解：(1)a ,b 2

2

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(2).f'(x) 3x2 x 2,由3x2 x 2 0得x 或x 1且f( ) c,f(1) c

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1

f( 1) c,f(2) 2 c,所以f(x)在[ 1,2]上的最大值为f(2) 2 c

2

从而c2 2 c，解得c 1或c 2

总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练：

3

x2

3.已知函数f(x) x 2x 5,若对任意x [ 1,2]都有f(x) m则实数m的取值范围是__________

2

类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且

f(x)在x=3处有极值.

（１） 求f(x)的解析式.

（２） 当x (0,m)时, f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围.

分析:(1)f(x) x3 5x2 3x 9

(2).f'(x) 3x2 10x 3 (3x 1)(x 3)

11

由f‘(x) 0得x1 ,x2 3当x (0,)时f'(x) 0,f(x)单调递增，所以f(x) f(0) 9

33

1

当x (,3)时f'(x) 0,f(x)单调递减,所以f(x) f(3) 0

3

所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m (0,3]时f(x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：

4.若不等式x4 4x3 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是___________. 三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围． 例5.已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1,x 1处取得极值 (1) 求函数f(x)的解析式.

(2) 若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. 略解(1)求得f(x) x3 3x

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3

(2)设切点为M(x0,x0 3x0),因为f'(x) 3x2 3

2所以切线方程为y m (3x0 3)(x 1),又切线过点M32所以x0 3x0 m (3x0 3)(x0 1)32即2x0 3x0 m 3 0

因为过点A可作曲线的三条切线,所以关于x0的方程 有三个不同的实数根

322设g(x0) 2x0 3x0 m 3则g'(x0) 6x0 6x0

由g'(x0) 0得x0 0或x0 1

所以g(x0)在( ,0),(1, )上单调递增,在(0,1)上单调递减,故函数g(x0)的极值点为x0 0,x0 1 g(0) 0所以关于x0的方程 有三个不同实根的充要条件是 解得 3 m 2

g(1) 0

所求的实数m的取值范围是( 3, 2)总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数. 基础训练：

5.设a为实数,函数f(x) x3 x2 x a(1)求f(x)的极值

(2)当a在什么范围内取值时,曲线y f(x)与x轴仅有一个交点

四. 开放型的问题，求参数的取值范围。 例６．已知f(x) x2 c,且f[f(x)] f(x2 1)。 （1）设g(x) f[f(x)]，求g(x)的解析式。

（2）设 (x) g(x) f(x)，试问：是否存在 R，使 (x)在（ , 1）上是单调递减函数，且在（ 1,0）上是单调递增函数；若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。

分析：（1）易求c=1,g(x) x4 2x2 2

（2） (x) g(x) f(x)＝x4 (2 )x2 (2 )，∴ (x) 2x[2x2 (2 )] 由题意 (x)在（ , 1）上是单调递减函数，且在（ 1,0）上是单调递增函数知，

( 1) 0是极小值，∴由 ( 1) 0得 4

当 4，x ( 1,0)时， (x) 0,∴ (x)是单调递增函数；

x ( , 1)时， (x) 0,∴ (x)是单调递减函数。所以存在 4，使原命题成立。

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在文科数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.