思维碰撞平野阔方法交汇大江流_对一道圆锥曲线高考试题的剖析与

第

期

郭

俊思维碰撞平野阔:

方法交汇大江流

思维碰撞平野阔

方法交汇大江流

对郭

一

道圆锥曲线高考试题的剖析与探究(

俊

东山外国语学校高中部

江苏南京

高考试题凝聚着命题者的心血和智慧每道试,

上的点到角的

条边距离相等这是学生最容易想,

题既体现了在知识交汇点处命题的创新原则又格,

到的解法

调清新意境幽深因此、,

一

道好的高考试题蕴含着

解法,,

设

户

(

、

,

九因

)

,

由

第

(

小题得的方

很多可探究的素材若教师能多方弓导学生对试题

此直线

进行剖析探究立足于问题的本质将加深学生对、,

程分别为:

知识点的理解提高学生的思维能力笔者对,

年山东省数学高考理科卷第第同的解法和

题的第,

(

小题和种不由点,

小题进行了全新的审视与研究获得,

到

的距离相等

,

得

个推广现整理如下供读者参考

试题再现试题已知椭圆

的由,

得

左右焦点分别是、

,

,

离心率为

过点

且

垂直于

轴的直线被楠圆

截得的线段长为又因为

所

以

上式可化

⑴求椭圆点

的方程答案上除长轴端点外的任的角平分线一

简为

是楠圆,

点

,

联结长轴于点

,

设

乙,

交

的

求

的取值范围,

在第的直线,

小题的条件下过点与椭圆

作斜率为个公共点,

使得,

有且只有、,

一

设直线证曰月

的斜率分别为,

若

试解得。

士士为定值年点评

并求出这个定值题、 )

又

’

故—

山东省数学高考理科试题第

思路

根据角平分线的性质,

角平分线

该题以考查解析几何的基础知识思想、

上的点到角的,

条边距离相等鉴于解法参数方程法设

运算量

方法和能力素质综合立意虽涉及的知识点多能力要求高但人,,

较大利用参数法可以减少运算量解法题意得直线,

口

宽过渡自然解法多在平和中,,

)

,

,

依

见新奇在沉稳中见活力较好地考查了圆锥曲线的相关知识也充分考查了考生的运算求解能力、

的方程分别为

界—

推理论证能力以及化归与转化思想特殊与、

一

般思点

想是

一

道不可多得的好题小题思路探究

到

的距离相等

,

故

第思路

根据角平分线的性质

—

角平分线

汐

?

3 6

?

中学教研

(

数学

年

由

■一一

,

,

即

’

沒

亦即

“

—

’

从而

得

了思路

,

故‘

根据由正

个角相等可考虑利用正弦定,

°

解法

把乂弦定理得’

代入上式得,

二

又

因为

所

以

思路

利用三角形内角平分线定理

一

一

三

角形的内角平分线对边所得的由

条线段的长度之,

比等于这个角的

边长度之比利用这个定理可以椭

得

将解析几何知识和平面几何完美结合解法定义得民设,

尽再

,

丨

广

丨

,

由

圆的

由内角

平分线定理得’

设

尸

』

￥沢

又

,

从而

从而

在故

解得思路

。

,

故,

思路经过焦点

利用光学性质

,

根据

个角相等利用向量夹角法,

的光线经椭圆

借助向量夹角把角用坐标表示出来运算量大大减少且解法优美

上的点一

镜面反射后经过另,

焦点

椭圆在点

处的

解法,

设,

,

九

)

,

由

题意可知八

(

万

,

法线即为乙在的直线如图解法设尸

平分线所椭圆在点处的切线(

从而,

、

,

,

则过点尸

(

。

)

的切

—

线方程为丄

于是

“

;

專

’

§

因为乙八

乙,

由椭圆的以(

光学性质得的斜率不存的坐,

是反射面的法线所由

丄■当,

得

在时

,

点当,

的

坐标为

±,

得点丄视

标为

的斜率存在时

,

由

得

即

第

期

郭

俊思维遂撞平野阔:

方法交汇大江流

这也是

一

个很好的问题发现?

,

是:

巧合还是必然呢

通过研究可将该问题进行推广的左

推广由。

已知椭圆

、

得

右焦点分别是

,

尽点,

是椭圆上除顶点外的任的切线斜率为,

通过对第不止“一

小题

种解法的分析解法远远一一

意

一

点联结,

过点

设

种限于篇幅不再,

展示

)

,

该题是、

一

道

题多解的典范可以从不同的角度不同的思,,

”

直线定值证明

的斜率分别为、次则士

士为

路进行解答充分地让不同思维层次的学生得到发挥从试题的背景来看,,

种解法从不同的思路研“”

究了角平分线的性质颇有似曾相识燕归来的感觉再度深究细查原来曾在高考理科卷第已知楠圆￡:

设过点■

的切线方程为

由

年安徽省数学对称轴为坐标轴

题出现过经过点,

:

,

,

,

得

(

,

焦点八

,

在%轴上离心率求椭圆

求乙￡

从而即:

,

的方程

的角平分线所在直线

的方

于是式

(

可化为

(

、

,

得

在椭圆

上是否存在关于直线对称的相,

异

个点第

?

若存在请找出这

个若不存在请说;

明理由

从而

二

、

小题的深入推广:

数学家波利亚指出好问题同某种蘑菇有些相像它们成堆地生长找到,一

个以后你就应当在周,,

跃

■

■

—

围找

一

找很可能附近就有好几个问题解决后应,

当让学生从解决的问题出发运用类比联想特殊、、

若将上述问题中的椭圆改成双曲线则同样可得到类似的结论推广:

化和

一

般化的思维方法派生出“,

一

些常规问题和开第(

放性的问题使问题成片开发,

”

小题从不小题已知双曲线,:

同视角得到不同解法之后再来解决第

解线,

由

题意可知

,

为椭圆的在 …… 此处隐藏：2296字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……