上课-正切、余切课件

上课-正切、余切 内容详细 数学课件 九年级上册

锐角三角函数——正切与余切 ——正切与余切

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如图： 如图：在Rt △ABC中，∠C=90°, 中 = ° 正弦？ 余弦？ 正弦？ 余弦？

1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 、 、 是在直角三角形中定义的， 是锐角 注意数形 是在直角三角形中定义的 注意 结合，构造直角三角形)。 结合，构造直角三角形 。 2、sinA、 cosA是一个比值(数值)。 是一个比值 、 、 是一个比值(数值)。 3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与所在直角三角 的大小只与∠ 的大小有关，而与所在直角三角 的大小有关 、 、 的大小只与 形的大小无关 无关。 形的大小无关。 特殊角的正弦、 特殊角的正弦、余弦函数值

sin 30°= cos 30°=

sin 45°= cos 45°=

sin 60°= cos 60°=

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同角的正弦值与余弦值有何关系？ 同角的正弦值与余弦值有何关系？

互为余角的正弦值与余弦值有何关系？ 互为余角的正弦值与余弦值有何关系？

当角度在0 当角度在0°~90°范围内逐渐增大时， 90°范围内逐渐增大时， 锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？ 锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

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想一想 比一比

当直角三角形的一个锐 角的大小确定时， 角的大小确定时，其对边 与邻边比值也是惟一确定 的吗？ 的吗？

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问：

B’C’ BC 和 A’C’ AC 有什么关系？ 有什么关系？

AC BC 所以 = B’C’ A’C’

B’C’ BC = 即 A’C’ AC

在直角三角形中， 锐角 的度数一定时 的度数一定时， 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何， 的对边与邻边的比是一个固定值 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。 的对边与邻边的比是一个固定值。

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如图： 如图：在Rt △ABC中， 中 ∠C=90°, = ° 一个角的正切表示定值、 表示定值、比 定值 正值。 值、正值。

我们把锐角A的对边与邻边的比 我们把锐角 的对边与邻边的比 叫做∠A的 正切，记作 tanA。 叫做∠ 的tanA×cotA=1 ×

我们把锐角A的邻边与对边的比叫做 ∠A的 余切，记作 cotA。 ∠A的邻边 b cotA = = ∠A的对边 a

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3 tan30°= ? 3B

tan 45°= 1 ?

tan 60°=

?3

思考： 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？A ┌ C

可以大于1吗？

对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA、 cotA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、 余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。 的锐角三角函数

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特殊角的三角函数值表三角函数 正弦sinα 锐角α 余弦 cosα 正切tanα 余切cotα

300要能记 住有多 好

450 600

1 2 2 2 3 2

3 2 2 2 1 2

3 3

313 3

13

这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?

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规律： 规律：①直角三角形

中，锐角的大小确定后，这个角的 直角三角形中，锐角的大小确定后， 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值、 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值、对边与 邻边的比值随之确定。 邻边的比值随之确定。

②直角三角形中，一个锐角的度数越大，它的正 直角三角形中，一个锐角的度数越大， 弦值、 它的余弦值、 弦值、正切值就越大；它的余弦值、余切值就越小。

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1 2

2 2 2 21

3 21 2 33 3

3 23 3

cotα

3

1

1、 你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值与余切值 、 你能得出互为余角的两个锐角 、 正切值与余切值 的关系吗? 的关系吗 2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关 、你能得出一个锐角 的正弦值 的正弦值、 系吗? 系吗

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结论： 结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值， 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任 正切值等于它的余角 意锐角的余切值等于它的余角 正切值. 余切值等于它的余角的 意锐角的余切值等于它的余角的正切值.B

在Rt△ABC中,∠C=90°, Rt△ABC中 C=90° tanA=cotB,cotA=tanB. tanA=cotB,cotA=tanB.a C

c

b

A

把下列正切或余切改写成余角的余切或正切： 把下列正切或余切改写成余角的余切或正切： (1)tan52°; (2)tan36°20′; (3)tan75°17′ ° ° ; ° (4)cot19°; (5)cot24°48′; (6)cot15°23′. ° ° ; ° .

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试一试： 试一试：下图中∠ACB=90° CD⊥AB,垂足为 垂足为D 指出∠ 下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B 的对边、邻边。 的对边、邻边。 B D (1) tanA =

(BC )

= CD (AD) AC

A

C

(2) tanB=

(AC )BC

= CD ( BD)

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试一试： 试一试：如图, Rt△ABC中 锐角A 如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时 扩大100 ,tanA的值 100倍 的值( 扩大100倍,tanA的值( C ) A.扩大100倍 扩大100 B.缩小100倍 缩小100 A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 C.不变 D.不能确定B

A

┌ C

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应用举例1、在Rt △ABC中，∠C=90°, a=9 b=12 在 中 = ° 的四个三角函数值。 求∠A的四个三角函数值。 的四个三角函数值 2、在△ABC中，AB=AC=4,BC=6,求∠B的三角函 在 中 = , , 的三角函 数值。 数值。

15 3、已知∠A为锐角，sinA= 已知∠ 为锐角 为锐角， 的值。 已知 = ,求cosA、tanA的值。 、 的值 17

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例 求下列各式的值： (1)2sin30°+3tan30°+cot45°; 2 (2)cos45°+tan60°·cos30°.练习：求下列各式的值： 练习：求下列各式的值： (1)sin30°-3tan30°+2cos30°; ° ° ° (2)2cos30°+tan60°-6cot60°; ° ° ° (3)5cot30°-2cos60°+2sin60°; ° ° ° (4)cos245°+sin245°; ° °

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填空： 填空：(1) tan 35 tan 45 tan 55 =o o o

(2)若 tan 35 tan α = 1, 则锐角 α=o o

(3)若 tan 47 cot β = 1, 则

锐角 β=