第八章-非正弦周期电流电路

第八章 非正弦周期电流电路的分析产生非正弦周期电流的原因：1、激励本身为非正弦周期函数。 2、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。 3、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。

对于周期性的激励与响应，可以利用博里叶级数分解为一系列不 同频率的简谐分量。根据叠加定理，线性电路对非正弦周期性激 励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分量分别作用于电路 时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分 析的相量法求得。

本章主要内容：周期函数的傅里叶级数展开式 ，线性电路对周期性激励的 稳态响应 ，非正弦周期电流和电压的有效值· 平均功率 ，周 期信号的频谱，对称三相电路中的高次谐波 。

重点：线性电路对周期性激励的稳态响应 ，非正弦周期电流和电压 的有效值· 平均功率 ，周期信号频谱的概念。

难点：对称三相电路中的高次谐波

§8 1 周期函数的傅里叶级数展开式周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )

若满足狄里赫利条件(Dirichlet condition)傅里叶级数：

a0 f ( t ) (an cosn 1t bn sinn 1t ) 2 n 1

傅里叶系数：

a0 1 2 T

t 0 T t0

f ( t ) dt

2 an T2 bn T

t 0 T t0t 0 T t0

f ( t ) cos n 1t dtf ( t ) sinn 1t dt

频率相同的余弦项与正弦项合并为一个正弦函数

an cosn 1t bn sinn 1t An sin( 1t n ) n

An a b2 n

2 n

an n arctan bn

基波(fundamental wave)或一次谐波(first harmonic):

A1 sin( 1t 1 ) n次谐波(n-th harmonic):

An sin( 1t n ) n

(n 1)

二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic)

谐波分析法(harmonic analysis)

具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数(odd function) : f ( t ) = f ( t )

奇函数的波 形对称于坐 标系的原点

a0 0, 22 bn T4 T

an 0, bn 0f ( t ) sin( 1t ) dt n

t0 T t0

T 2 0

f ( t ) sin ( 1t ) dt n

(2) 偶函数(even function): f ( t ) = f ( t )

偶函数的波 形对称于坐 标系的纵轴

bn 0,

a0 0, an 0 2

2 an T4 T

t0 T t0

f ( t ) cos(n 1 t ) dtf ( t ) cos(n 1t ) dt

T 2 0

(3) 奇谐波函数(odd harmonic function) :

T f (t ) f (t ) 2

后半周对横轴的镜象是前半周的重复

f (t ) [an cos(n 1t ) bn sin( 1t )] nn 1

An sin( 1t n ) ( n 1,3,5, ) nn 1

值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决 定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函 数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间 起点的选择有关。

§8 3 非

正弦周期电流和电压的有效 值· 平均功率 有效值周期电流i(t)的有效值为

1 I T

i (t ) dt 0T 2

i ( t ) I 0 I nm sin( 1t n ) nn 1

1 I T

T

T

0

n I 0 I nm sin( 1t n ) dt n 1

2

1 (1) T

0

I dt I2 0

2 0

1 ( 2) T

T 0

I

2 nm

sin ( n 1t n )dt 2

I

2 nm

2

1 ( 3) T

T 0

2 I 0 I nm sin( 1t n )dt 0 n

1 T (4) 2 I nm I pm sin( 1t n ) sin(p 1t p )dt n T 0 0 ( p n)