2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题

- 1 - 2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题 2018.01 考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另附答题纸．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 计算：+lim (1)=+1

n n n →∞-__________． 2.计算行列式1i 23i 11i

-++ 的结果是_________．（其中i 为虚数单位） 3．与双曲线22

1916

x y -=

的渐近线相同，且经过点(A -的双曲线的方程是_________． 4．从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有__________种．（结果用数值表示）

5．已知函数()23x f x a a =?+-（a R ∈）的反函数为1()y f

x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为 ．

6．在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________．

7．已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 .

8．类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系．在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+（其中12,e e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈）

，则点P 的坐标为(,)x y .若在斜坐标系xOy 中，60xoy ?∠=，点M

的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为 . 9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8

3

π，则该圆锥的侧面积等于 .

- 2 - 10．已知函数(5)1,(1)(),

(1)x a x x f x a x -+<?=?≥?(0,1)a a >≠是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ．

11.

已知函数231()sin cos()22

f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位(0)a π<<，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为 .

12.已知函数2()41f x ax x =++,若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围

为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为 【 】 A ． 13 B ．23

C ．13-

D ．13或23． 14. 设全集{}{}3,log (1),11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U A B =ð 【 】

A ．(]0,1

B ． ()0,1

C ．()1,2

D ．[)1,2．

15．两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内．若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交；

乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 【 】

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件．

16．若曲线2y x =+与曲线22

:144

x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ的取值范围为 【 】 A ．(],11+-∞-?∞（，）

B ．(],1-∞-

C ．1+∞（，）

D ．()[1,0)1,-?+∞． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中, 41=AA ,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3π．

- 3 - （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；

（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，设向量(,cos ),m a B =(,cos ),n b A = 且//,m n m n ≠.

(1)求证：2

A B π+=； (2)若sin sin sin sin x A B A B ?=+，试确定实数x 的取值范围.

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45 (其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==.

(1) 当三点C P Q 、、不共线时，求直角△CPQ 的周长；

(2) 设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S (平方百米) ，试求S 的最大值.

B 1

A 1

C 1 A

C B

D P 45θ

- 4 -

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6

分）

如图,已知满足条件3i i z -=

（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C

（圆心为C ）. 设复平面xOy 上的复数i (,)z x y x R y R =+∈∈对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为

360x y ++=，过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线m 相交于N 点,与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ

中点.

（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与

m 垂直； （2）当

PQ =时，求直线l 的方程；

（3）设t =?,试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值；若t 不为定值，请说明理由.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分） 已知数列{}n a 的通项公式为a

n n

a n +=

，(,n a ∈N *)． (1) 若1a ，2a ，4a 成等差数列，求a 的值；

(2) 是否存在k (10k ≥且k ∈N*)与a ，使得1a ，3a ，k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合；若不存在，请说明理由；

(3) 求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积．

- 5 - 静安区2017学年度第一学期教学质量检测

高三数学解答

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 0；

2.6i -；

3.22

4194

x y -=；4.60种；5．(30)，；6．12- 7.(]3,3,7??-∞-?+∞????

；8

9

．；10．[3,5) 11.75123126ππππ?????

?，，，；12.[)3∞，+ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.B ；14.D ；15.C ；16．A ．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）11BC B ∠是异面直线1BC 与1AA 所成的角，所以11BC B ∠=

3π………2分 因为114BB AA ==，所以3411=C B ，………………4分

于是，三棱柱体积116344ABC V SH S AA ?===

??=6分 （2）过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ⊥平面11AAC C ，D BC 1∠是直线1BC 与平面11AAC C 所成的角，…………… …… 此处隐藏：2622字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……