§3.2 导数在研究函数中的应用

步步高大一轮复习讲义

导数在研究函数中的应用

主页

山东金榜苑文化传媒集团

知识网络平均变化率与瞬时变化率

导数的概念 导 数 及 其 应 用

平均速度与瞬时速度 导数的几何意义

基本初等函数导数公式

导数

导数的计算导数的四则运算 函数的单调性

导数的应用

函数的极值与最值 生活中的优化问题举例

主页

要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

在某个区间(a,b)内，如果 f '(x) >0 ,那么函 数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f '(x) <0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减.

在(a, b)内可导函数f(x), f '(x)在(a, b) 任意 子区间内都不恒等于0. f '(x) ≥0 f(x)为__________; 增函数

f '(x) ≤ 0 f(x)为___________. 减函数主页

要点梳理2.函数的极值

忆一忆知识要点

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，f ( x ) 0 f ( x ) 0 ①如果在x0附近的左侧________, 右侧________,

那么f(x0)是极大值；f ( x ) 0 ②如果在x0附近的左侧________,右侧 f ( x ) 0,

那么f(x0)是极小值.主页

要点梳理2.函数的极值：

忆一忆知识要点

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f '(x) ;②求方程 f ( x ) 0 的根； ③检查f '(x)在方程 f ( x ) 0的根左右值的符号. 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 极大值 ； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 极小值 .

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

3. 函数的最值 (1)在闭区间[a, b]上连续的函数 f( x) 在[a, b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a, b]上单调递增,则_____ f (a ) 为函数的最小值，_____为函数的最大值；若 f (b) f (a ) 函数f(x)在[a,b]上单调递减，则_____为函数 的最大值，_____为函数的最小值. f (b)

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

(3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤如下：极值 ①求f(x)在(a, b)内的_______;

②将f(x)的各极值与 f (a ), f (b) 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值.

主页

基础自测

题号

答案( , 1) 和 (1, )

12 3 4 5

减函数[ 3, )

②③ A主页

基础自测3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增函数，则 实数a的取值范围是[-3,+∞) .

∵f(x)=x3+ax-2在 (1, +∞)上是增函数,

∴f ′(x)=3x2+a≥0在(1, +∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1, +∞)上恒成立. a ≥ 3.

主页

基础自测

5.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的 极值点， 则 ( A ). A. a<-1 B.a>-1 x x 1 1 ∵y=e +ax,∴y′=e +a. D.a>- e +a. C.a<-e

x x 当 a≥0 时，y y′=exx+a. ∵y=e +ax,∴y′=e +a. ∵y=e +ax,∴ 不可能有极值

点，故 a<0. 有极值点，故 a<0. x x 由 e +a=0 得 e =-a,∴x=ln(-a), 当 a≥0 时，y 不可能有极值点，故 a<0. 当 a≥0 时，y 不可能有极值点，故 a<0.

由 e +a=0 得 e =-a,∴x=ln(-a), 由 e +a=0 得 e =-a,∴x=ln(-a), 的极值点，x=ln(-a)即为函数的极值点， a<-1. ∴ ∴ln(-a)>0, 即 ln(-a)>ln 1,∴ ∴x=ln(-a)即为函数的极值点，主页

a,∴x=ln(-a), x x x x ∴x=ln(-a)即为函数的极值点，

-a)>ln 1,∴ln(-a)>0, 即 ln(-a)>ln 1,∴a<-1. ∴a<-1. ∴ ln(-a)>0, 即 ln(-a)>ln 1,∴a<-1.

题 型一

利用导数研究函数的单调性

【例 1】 已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m, n∈R, m≠0), 函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平 行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间.

解：(1)由已知条件得f ′(x)=3mx2+2nx, 又f ′(2)=0,∴3m+n=0,故n=-3m.主页

题 型一

利用导数研究函数的单调性

(2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2, (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2, 2 ∴f′(x)=3mx2-6mx. ∴f′(x)=3mx -6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增 区间是(-∞,0)和(2,+∞); 区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 当 是(0,2). 是(0,2). m<0 时，解得 m<0 时，解得 0<x<2,则函数 0<x<2,则函数 f(x)的单调增区间 f(x)的单调增区间

综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(-∞, 0) 综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(-∞, 0) 和(2,+∞);当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 和(2,+∞);当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).主页

题 型一

利用导数研究函数的单调性

探究提高

利用导数求函数f(x)的单调区间的一般 步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0和f ′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.主页

变式训练 1

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2. (1)试用c表示a,b; (2)求f(x)的单调递减区间.解：(1)f′(x)=3x22+2ax+b, +2ax+b, 解：(1)f′(x)=3x22 2+2ax+b, 解：(1)f′(x)=3x 解：(1)f′(x)=3x +2ax+b, 3+2a+b=0 解：(1)f′(x)=3x 2+2ax+b, +2ax+b, f′(1)=0 解：(1)f′(x)=3x f′(1)=0 f′(1)=0 3+2a+b=0 3+2a+b=0 由已知条件 f′(1)=0 ,即 3+2a+b=0 3+2a+b=0 由已知条件 f′(1)=0 ,即 3+2a+b=0 由已知条件 ,即 f′(1)=0 f(1)=-2 ,即 1+a+b+c=-2 f(1)=-2 ,即

1+a+b+c=-2 由已知条件 f(1)=-2 ,即1+a+b+c=-2 由已知条件 由已知条件f(1)=-2 f(1)=-2 1+a+b+c=-2 1+a+b+c=-2 f(1)=-2 1+a+b+c=-2 解得 a=c,b=-3-2c. 解得 a=c,b=-3-2c. 解得 a=c,b=-3-2c. 解得 a=c,b=-3-2c. 解得 a=c,b=-3-2c. 解得 a=c,b=-3-2c. (2)f′(x)=3x22+2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) +2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) (2)f′(x)=3x22 2+2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) (2)f′(x)=3x (2)f′(x)=3x +2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) (2)f′(x)=3x 2+2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) (2)f′(x)=3x +2cx-3-2c=(3x+3+2c)(x-1) x+3+2c (x-1) x+3+2c (x-1) =3 x+3+2c (x-1) =3 3+2c =3 3+2c 3 3 =3 x+ 3+2c(x-1) =3 x+ 3 (x-1) =3 x+ 3 (x-1) 3 3主页

3+2c 3+2c =1,即 c=-3,f′(x)=3(x-1)2≥0. 2 ①若- 3+2c ①若-3+2c=1,即 c=-3,f′(x)=3(x-1)22≥0. 3 =1,即 c=-3,f′(x)=3(x-1) ≥0. ①若-3+2c=1,即 c=-3,f′(x)=3(x-1)2≥0. ①若- 3 =1,即 c=-3,f′(x)=3(x-1) ≥0. 3 ①若- 3 3 f(x)在(-∞,+∞)上递增不合题意，c=-3 应舍去. f(x)在(-∞,+∞)上递增不合题意，c=-3 应舍去. f(x)在(-∞,+∞)上递增不合题意，c=-3 应舍去. f(x)在(-∞,+∞)上递增不合题意，c=-3 应舍去. 3+2c 3+2c <1,即 c>-3 时， f(x)在(-∞,+∞)上递增不合题意，c=-3 应舍去. ②若- 3+2c ②若-3+2c<1,即 c>-3 时， ②若-3+2c<1,即 c>-3 时， 33 <1,即 c>-3 时， ②若- 3 <1,即 c>-3 时， ②若- 3 -3+2c,1 ; 3 3+2c f(x) …… 此处隐藏：2908字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……