安徽大学20 06 —20 07 学年第 2 学期《 量子力学 》考试试题(A)

安徽大学20 06 —20 07 学年第 2 学期《 量子力学 》考试试题（A）参考答案及评分标准

一、填空题（每小题5分，共25分）

1．用球坐标表示，粒子波函数表为 r, , ，粒子在立体角d 中被测到的几率是

P d r, , r2dr。

2

2．在 z表象中的泡利矩阵 x 1

01

。 0

12

3．一维谐振子的能级表达式是En (n ) ,n=0,1,2…

4．量子力学中，体系的任意态 (x)可用一组力学量完全集的共同本征态 n(x)展开：

*

(x) (x)dx (x) cn n(x)，则展开式系数cn的表达式是cn n(x), (x) n

n

5．一维谐振子升、降算符a 、a的对易关系是 [a,a ] 1。

二、简答题（每小题5分，共25分）

6．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。（2分）在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为(2j 1)条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。（1分）原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。（2分）

7． 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ （L,Lz）

解：L,Lz的共同本征函数是球谐函数Ylm( , )。（3分）

2

2

L2Ylm( , ) l(l 1) 2Ylm( , ), (1分)

8．什么是简并、简并度？

LzYlm( , ) m Ylm( , ) （1分）

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。（3分）把对

应于同一能级的不同状态数称为简并度。（2分）

9．玻尔原子理论的两大要点是什么？

1原子具有分立的能级：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着其中一组特殊的轨道运动。玻尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态(简称定态)。当电子保持

在这种状态时，它们不吸收也不发出辐射。

换句话说就是：原子能够，而且只能够稳定地存在于与分立的能量(E1．E2，…)相应的一系列的状态中．这些状态称为定态．因此，原子能量的任何变化，包括吸收或发射电磁辐射，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。（3分）

2量子跃迁的频率条件：只有当电子由一个定态跃迁到另一个定态时，才产生辐射的吸收或发射现象，电子由能量为Em定态跃迁到能量为En的定态时所吸收或发射的辐射频率，满足下面的关系：（2分）

10．什么是测不准关系？轨道理论在量子力学中是否存在？

解：由于具有粒子—波动两重性，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有确定值，称为测不

准关系。（3分）轨道理论在量子力学中是不存在的。（2分） 三、证明题（每小题10分，共10分）

11．证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 证一：已知

且当k ≠ l时，

（2分）

，所以

式的共扼复式可写为

是厄密算符，它的本征值都是实数，即

因为F

。

以 l右乘上式两边并对变量的整个区域积分，得

（2分） 以 k左乘

由厄密算符定义，有

*

式两边，并对变量的整个区域积分得

（2分） （2分）

即上两等式的左边相等，因而这两等式的右边也相等：或者

已知

，所以

（2分）

这就是我们所要证明的结果：

证二：设A为厄密算符，

m、 n是A的二本征函数，即

A m Am m， A n An n， 且Am An 。

m,A n

m,A n 0 m,A n A m, n

An m, n Am m, n An Am m, n 。

因

Am An，故有

即

m, n 0，

m与 n正交，证毕。

四、计算题（每小题20分，共40分） 12．氢原子处于状态 (r, , )

13R21(r)Y10( , ) R21(r)Y1 1( , )。试求： 22

2

、角动量平方算符L 和角动量z分量L 的可能取值； （1）能量算符Hz

（2）上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。

解：氢原子波函数为 nlm(r, , )，能量En

e4

2 2n2

，L的本征值为l(l 1) 2，Lz的本征值为m 。

2

本题中，氢原子所处的状态为 210和 21 1二本征态的叠加。在这二本征态中，n 2,l 1,m 0或 1。 故H只可能取值E2

e4

2 2

2

2

e4

8

2

，（2分）出现的几率为1（因二本征态对应的能量同为E2），

（2分）平均值 E2

e4

8

2

；（2分）

22

L2只可能取值1(1 1) 2 2 2，（2分）出现的几率为1，（2分）平均值L 2 ；（2分）

1 1

（2分）出现0的几率为 ，（2分）出现 的几率为Lz的可能取值有两个：0、 ，

4 2

1333

，（2分）平均值Lz 0 。（2分） 2 4444

13．（1）粒子在二维无限深方势阱中运动，

2

2

0,V

,

0 x a,0 y a

，

其它区域

试写出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；

（2）加上微扰 H xy

求最低的两个能级的一级微扰修正。 解：（1）能级和能量本征函数为

E

( )

n n

ma2a

n

n ,

n ,n , , , （3分）

(0)

nsinn

12

n1 xn y

sin2,(阱内,下同) （3分） aa

( )

基态是非简并的，能级E ，本征函数为

(0)

11

x y2

sinsin。 （1分） aaa

( )

第一激发态是二重简并的，能级E ,本征函数为

( )

( )

x ysinsin aaa

（2分）

x y sinsin aaa

4 aa 22 x2 yxysinsindxdy a。（3分）

aa4a2 0 0

(2) 基态能级的一级修正等于H 的平均值，即

E

(1)

11

(0)11(0)

H 11

对于 和 ，容易算出H 的矩阵元为

H H

在

H a ,H

a 。 （2分）

, 子空间中，H 的矩阵表示为

。 （3分） H a

( )

E ，可解得( , , ) （2分） 由detH

( )

H E H

.

。 （1分） a a . a .

结论：在微扰作用下，基态能级升高 a为0.065

，第一激发能级的重心也升高 a ，同时分裂为二，裂距

a 。