2012高中数学 3.4课后练习同步导学新人教A版选修1-1

来源：网络收集时间：2026-08-29

导读：第3章 3.4 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)

第3章

3.4

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )

A．32,16 C．40,20

B．30,15 D．36,18

512

解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x米，则长为x

512512

因此新墙总长L＝2x＋x>0)，则L′＝2－2令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此

512

时长为32(米)，可使L最短．

答案： A

2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13

x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )

A．13万件 C．9万件

解析： y′＝－x＋81，

∴当x>9时，y′<0，当x∈(0,9)时，y′>0，

∴函数y＝－x＋81x－234在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上递减．

3故当x＝9时，y有最大值．答案： C

3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) 3

A.V 3

C.4V

解析：设底面边长为x，侧棱长为l， 12

则V＝·sin 60°·l，

3B.2V 3D．2V

B．11万件 D．7万件

∴l＝

4V3x

3243Vx， 2x

∴S表＝2S底＋3S侧＝x·sin 60°＋3·x·l＝

S′表3x43V

＝0，

∴x＝4V，即x＝4V.

又当x∈(0，4V)时，y′＜0，x∈(4V，V)时，y′＞0， 3

∴当x＝4V时，表面积最小．故选C. 答案： C

4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )

A．30元 C．28 000元

B．60元 D．23 000元

解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p)(p－20)＝－p－150p＋11 700p－166 000.

所以，L′(p)＝－3p－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.

因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，

所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．

答案： D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋

x(万元)，已知产品单价的平方与75

产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．

解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，

250 0005002

所以p＝，p，x>0.

50023

设总利润为y万元，则y＝x－1 200－x

75x23

＝500－x－1 200.

7525022

求导数得，yx.

x25令y′＝0得x＝25.

故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.

因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．答案： 25

6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

解析：依题意可设每月土地占用费y1＝y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，

k14

于是由2＝k1＝20；由8＝10k2 得k2.

105

204x

因此，两项费用之和为y＝x>0)，

y′＝－2＋y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．

当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0. 因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案： 5

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－

204

x)2万件．

(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．解析： (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x(元)的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)，x∈[9,11]．

(2)L′(x)＝(12－x)－2(x－3－a)(12－x) ＝(12－x)(18＋2a－3x)．

令L′＝0得x＝6＋或x＝12(不合题意，舍去)．

3228

∵3≤a≤5，∴8≤6＋≤.

332

在x＝6a两侧L′的值由正变负．

329

所以，当8≤6＋a≤9，即3≤a≤

Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；

2289

当a≤a≤5时，

332

Lmax＝L 6＋

2 2 2

＝ 6＋－3－a 12－ 6＋a 3 3 1 3＝4 3－a . 3

96－a，3≤a< 2

所以，Q(a)＝

3－1a ，9a≤54 3 2

综上，若3≤a<9元时，分公司一年的利润L最大，最大值为9(6－

a)万元；

9 2 1 若a≤5，则当每件售价为 6＋a 元时，分公司一年的利润L最大，最大值为4 3－ 2 3 3

万元．

8．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地

至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 500480 0002

解析： (1)依题意得y＝＋0.6x)＝300x，

且由题意知，函数的定义域为(0,35]， 480 000即y＝300x(0<x≤35)．

480 000

(2)由(1)知，y′＝－300，令y′＝0， 2

解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0<x≤35时，y′<0，

480 000所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，

480 000故当x＝35时，函数y＝300x取得最小值．

故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． 尖子生题库☆☆☆

9．(10分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r，

计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.

(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域； (2)求S的最大值．

解 …… 此处隐藏：1740字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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