《概率论与数理统计》习题 第四章 大数定律和中心极限定理

一. 填空题1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 ......2. 设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式......

第四章 大数定律和中心极限定理

一. 填空题

1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 > 0, 有limP |n Yn p| __________. n

解. limP |n Y Yn p| 1－limP |n p| 1 1 0 n n n

2. 设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X－Y| 6) _______.

解. E(X－Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0

D(X－Y) = D(X) + D(Y)－2 XY

所以 P(|X Y| 6)

二. 选择题

1. 设随机变量X1,X2, ,Xn相互独立, Sn X1 X2 Xn, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, Sn近似服从正态分布, 只要X1,X2, ,Xn ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差

( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布

解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求X1,X2, ,Xn既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.

三. 计算题

1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.

解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以X～B(400, 0.02)

由棣莫佛－拉普拉斯定理:

limP n D(X)D(Y)= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 D(X Y)31 263612X 400 0.021 x 400 0.02 0.98

x e t22dt (x) 所以 P(X 2) 1 P(X 1) 1 P X 8 7 400 0.02 0.98 0.02 0.98

1－ (－2.5) = (2.5) = 0.9938.

2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.

一. 填空题1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 ......2. 设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式......

解. 假设X表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X～B(10000, 0.7)

由棣莫佛－拉普拉斯定理:

limP n X 70001 x 00.3 0.72 000 x

e t22dt (x)

) 所以 P(6800 X 7200

P 6800 7000X 70007200 7000 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7

(4.36)－ (－4.36) = 2 (4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.