2009年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1、已知P {a|a (1,0) m(0,1),m R},Q {b|b (1,1) n( 1,1),n R}是两个向量集合，则PIQ

A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 2.设a为非零实数，函数y

1 ax1

(x R,且x )的反函数是 1 axa

1 ax11 ax1

(x R,且x ) B、y (x R,且x ) A、y

1 axa1 axa

C、y

1 x1 x

(x R,且x 1) D、y (x R,且x 1)

a(1 x)a(1 x)

3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为

A、

1111 B、 C、 D、 34612

4. 函数y cos(2x

6

) 2的图象F按向量a平移到F',F'的函数解析式为y f(x),

当y f(x)为奇函数时，向量a可以等于

A.(

6

, 2) B.(

,2) C.(, 2) D.(,2)

666

5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两

名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

A.18 B.24 C.30 D.36

6.

设

x)2n a0 a1x a2x2 ... a2n 1x2n 1 a2nx2n2

，则

lim[(a0 a2 a4 ... a2n)2 (a1 a3 a5 ... a2n 1)2]

n

A. -1 B. 0 C. 1 D.

2

x2y2x2y2

1的准线过椭圆 2 1的焦点，则直线y kx 2与椭圆至7. 已知双曲线

224b

多有一个交点的充要条件是

A. K , B. K ,

222

11

1

1 ,

2 2

C. K ,

D. K , 222

8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 9. 设球的半径为时间t的函数R t 。

若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长

速度与球半径

A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16， 这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11. 已知关于x的不等式

ax 11

＜0的解集是( , 1)( , ).则a . x 12

12. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,

样本数

据落在[6,10)内的频数为 ，数据落在[2,10)内的概率约为 .

13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).

14.已知函数f(x) f'()cosx sinx,则f()的值为 .

44

an

,当an为偶数时，

15．已知数列 an 满足：a1＝m（m为正整数），an 1 2若a6＝1，

3an 1,当an为奇数时。

则m所有可能的取值为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量

＝x＋y，求 的分布列和数学期望。

17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知向量a (cosa,sina),b (cos ,sin ),c ( 1,0) （Ⅰ）求向量b c的长度的最大值； （Ⅱ）设a

4

，且a (b c)，求cos 的值。

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD 平面ABCD，SD=2a

，AD SD上的点，且DE a(0 2)

（Ⅰ）求证：对任意的 (0,2]，都有AC BE （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为

，直线BE与平面ABCD所成的角为 ，若

点E是

tan gtan 1，求 的值

19、（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

n 1

已知数列 an 的前n项和Sn an () 2（n为正整数）。

1

2

（Ⅰ）令bn 2nan，求证数列 bn 是等差数列，并求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）令cn 明。

20、（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

n 15n

an，Tn c1 c2 ........ cn试比较Tn与的大小，并予以证n2n 1

过抛物线y2 2px(p 0)的对称轴上一点A a,0 a 0 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l:x a作垂线，垂足分别为M1、N1。

（Ⅰ）当a （Ⅱ）记

p

时，求证：AM1⊥AN1； 2

AMM1、 AM1N1 、 ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在 ，

2

使得对任意的a 0，都有S2 S1S2成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。

21.(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 在R上定义运算 :p q

1

p c q b 4bc（b、c为实常数）。记3

f1 2 2c，f2 2b， R.令f f1 f2 .

（Ⅰ）如果函数f

在 1处有极什 ,试确定b、c的值；

43

（Ⅱ）求曲线y f

上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

（Ⅲ）记g x f x | 1 x 1 的最大值为M.若M k对任意的b、c恒成立，

试示k的最大值。

2009年高考湖北理科数学卷解析

1．【答案】A

【解析】因为a (1,m) b (1 n,1 n)代入选项可得P Q 1,1 故选A. 2．【答案】D 3．【答案】C

【解析】因为(m ni)(n mi) 2mn (n2 m2)i为实数

所以n2 m2故m n则可以取1、2 6，共6种可能，所以P 4．【答案】B 5．【答案】C

23

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，

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