2010年考研数学强化线性代数讲义(五至七讲)

2010年考研数学强化线性代数讲义

2010考研强化班线形代数讲义

主讲：尤承业

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第五讲 线性方程组

概念部分

一. 线性方程组解的情况的判别

AX 即x1 1 x2 2 xn n AX 有解 可用 1, 2, , n表示

r( 1, 2, , n, ) r( 1, 2, , n)

r(A ) r(A).

AX 有唯一解 r(A ) r(A) n.

判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A ). ① 无解

r(A) r(A ).

r(A ) r(A) n. r(A) r(A ) n.

② 有唯一解

(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.) ③ 有无穷多解

方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A )的上界,因此 当r(A)当m

m时, AX 一定有解.

0,判别解的情况用两个数: n,r(A).

n时,一定不是唯一解.

对于齐次方程组AX

r(A) n 只有零解

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r(A) n 有非零解.

A 列满秩

AX 0只有零解.

推论1 当A 列满秩时, A 在矩阵乘法中有左消去律:

AB 0 B 0; AB AC B C.

证明 设B ( 1, 2, t)，AB (A 1,A 2, ,A t), 则AB 0

A i 0,i 1,2, ,s. 1, 2, , i都是AX 0的解.

0只有零解, i 0,i 1,2, ,s,,即B

而A 列满秩, AX

0.

推论2 如果A列满秩,则r(AB)证明 只用证明齐次方程组

r(B).

ABX 0和BX 0同解.(此时矩阵AB和B 的列

向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)

是ABX 0的解 AB 0 B 0 是BX 0的解.

二. 线性方程组的通解 1. 齐次方程组AX

0

0的一组解,则它们的任何线

(1) 解的性质:如果 1, 2, , s是齐次方程组AX性组合c1 1

c2 2 cs s也都是解.

A(c1 1 c2 2 cs s) c1A 1 c2A 2 csA s 0.

(2) 齐次方程组的基础解系和通解 如果齐次方程组AX个极大无关组为AX

0有非零解,则它的解集J(全部解的集合)是无穷集,称J的每 0的基础解系.

0的基础解系的条件为

判别一组向量 1, 2, , s是AX① 1, 2, , s是AX

0的一组解.

② 1, 2, , s线性无关.

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③ AX

0的每个解 可同 1, 2, , s线性表示.

0的基础解系时:

于是, 当 1, 2, , s是AX向量 是AX

0的解 可用 1, 2, , s线性表示.

AX 0的通解为:

c1 1

c2 2 cs s, 其中c1,c2, ,cs可取任何常数.

0有

n个未知数,则r(J)

定理 设AX n r(A).即它的基础解系中包含解的

个数为s于是“③AX ③ s

n r(A).

0的每个解 可同 1, 2, , s线性表示.”可换成

n r(A).

0,n为A的列数(B的行数),则r(A) r(B) n.

推论 如果AB

B ( 1, 2, , s),则每个 i都是齐次方程组AX 0的解.即

1, 2, , s

是

J

的部分组。于是

r(B) r( 1, 2, , s) r(J) n r(A)

即r(A) r(B) 2.非齐次方程组AX

n.

(1) 非齐次方程组解的性质 命题1如果 1, 2, , s是AX① 它们的线性组合

的一组解,则

也是

c1 1 c2 2 cs s

AX

解的

c1 c2 cs 1.

② 它们的线性组合

c1 1 c2 2 cs s

是

AB 0

的解

c1 c2 cs 0.

A(c1 1 c2 2 cs s) c1A 1 c2A 2 csA s

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(c1 c2 cs) .

命题2如果 0是AX则: 向量 的一个解,

也是AX 的解 0是导出齐次方程组AX 0的解. 也是解 是 0与导出组AX 0的一个解的和.

AX 的解, 1, 2, , s是导出组AX

命题2也就是说,(2) 非齐次方程组的通解 如果 0是非齐次方程组础解系,则AX

0的基

的通解(一般解)为

0 c1 1 c2 2 cs s, 其中c1 c2 cs可取任何常数.

例题部分 一. 概念题 例1 AX(1)AX

0和BX 0都是n元方程组，判断下列断言的正确性.

0和BX 0同解 r(A) r(B).

(2)r(A)(3) AX (4) AX

r(B) AX 0和BX 0同解. 0的解都是BX 0的解 r(A) r(B). 0的解都是BX 0的解 r(A) r(B).

(5) r(A) r(B) AX 0的解都是BX 0的解.

例2设A是m n矩阵,它的列向量组为 1, 2, , n,则 (A)如果非齐次方程组AX

有唯一解,则m n,并且A不为0.

有无穷多解.

(B)如果 1, 2, , n线性相关,则非齐次方程组AX(C)总存在m维向量 ,使得方程组AX(D)如果AX例

3

无解.

有唯一解, 则m n.

都是非齐次方程组

1, 2, 3

AX

的解,其中

的通解

1 (2,0,5, 1)T, 2 3 (1,9,0,3)T

r(A) 3 .则AX

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为 . 例4设A是4 3矩阵,r(A) 3,则下列4个断言中不正确为( ).

(A) AX (B) A

T

0只有零解.

有非零解.

T

X 0(C)对于任何3维向量 ,A

X 一定有解.

一定有解.

(D) 对于任何4维向量 ,AX例5 线性方程组

2x1 x2 x3 x4 1 的通解可以表示为

x1 x2 x3 2x1 0

(A) (1, 1,0,0)(B) (0,1,1,1)

T

T

c(0,1, 1,0)T,c任意.

c1(0, 2,2,0) c2(0,1, 1,0)T任意.

T

(C) (1, 2,1,0)

c1( 1,2,1,1)T c2(0,1, 1,0) ，c1,c2任意. c1(1, 2,1,0)T c2(0,1, 1,0)T,c1,c2任意.

(D) (1, 1,0,0)

T

二.计算题(求通解) 二.计算题(求通解)

例6 齐次方程组AX=0的系数矩阵为 2 A

a为什么数时AX=0有非零解?求通解.(04一) 解：当a

0时，显然A 0,Ax 0有非零时，并且它与x1 x2 xn 0同

1 1 1

1 0 0

解。一个基础解系为： 1 0 , 2 1 , , n 1 0

0 0 1

同解为c1 1

c2 2 cn 1 n 1,c1 cn 1任意。

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当a 0时

11 1 a

2 a2 2

A

n 1n 1n 1

11 1

a

1

2 0

0a 1 n 1

00 0a0 0

00 a11 1

a n 2a

n

(n 1)a

n a 1

n

1 0 0 0

于是，当

00 010 0

00 110 1

1 n 2

n

C

(n 1)

na1n 1 1 nnn

a12n 1n

0即a (1 2 n)时 nnnnn00 010 0

00 100 0

1

n 21

n n 1 n 0

方程组也有非零解，此时

1 0C

0 0

向量

(1,2, ,n)T是一个解，构成基础解系，同解为c ，c任意。

例7讨论p,t的取值对下面方程组解的影响,并在有无穷多解时求通解.(96四)

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x1 x2 2x3 3x4 0 2x x 6x 4x 1 1234

3x1 2x2 px3 7x4 1 x1 x2 6x3 x4 t

11 230 11

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