全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式

1．三角函数的积化和差公式

sin α?cos β=

2

1

[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α?sin β=2

1[sin(α+β)-sin(α-β)], cos α?cos β=2

1[cos(α+β)+cos(α-β)], sin α?sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)]. 2．球的体积公式 V 球=3

4πR 3（R 为球的半径）。 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为

31。则集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2|

的交集M ∩N 所表示的图形面积为

A ．32

B ．31

C ．1

D ．6

1 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3

π。则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21 D ．3

3 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为

A ．90

B ．100

C ．110

D ．120

4．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则

A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形

B ．ΔAB

C 是直角三角形，但不一定是等腰三角形

C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形

D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形

5．已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

6．设0<x<1, a,b 为正常数。则x

b x a -+12

2的最小值是 A ．4ab B ．(a+b)2 C ．(a-b)2 D ．2(a 2+b 2)

7．设a,b>0，且a 2008+b 2008=a 2006+b 2006。则a 2+b 2的最大值是

A ．1

B ．2

C ．2006

D ．2008

8．如图1所示，设P 为ΔABC 所在平面内一点，并且AP=

51AB+52AC 。则ΔABP 的面积与ΔABC 的面积之比等于

A ．51

B ．21

C ．52

D ．3

2 9．已知a,b,c,d 是偶数，且0<a<b<c<d, d-a=90, a,b,c 成等差数列，b,c,d 成等比数列。则a+b+c+d=

A ．384

B ．324

C ．284

D ．194

10．将数列{3n-1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…。则第100组的第一个数是

A ．34950

B ．35000

C ．35010

D ．35050

11．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点A 关于直线A 1C 、直线BD 1的对称点分别为点P 和Q 。则P ，Q 两点间的距离是

A ．322

B ．233

C ．423

D ．3

24 12．已知F 1，F 2分别为双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点。若|

|||122PF PF 的值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是

A ．(1,+∞)

B ．(0,3]

C ．(1,3]

D ．(1,2]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．已知3sin )2sin(=+αβα，且),(2,21Z k n n k ∈+≠+≠ππβαπβ。则β

βαtan )tan(+的值是_________. 14. 设正数数列{a n }的前n 项之和为b ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1.则数列?

?????n a 1中最接近2000的数是_________.

15.不等式2281042222<+--+-<-x x x x 的解集为 _________.

16. 已知常数a>0，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn 为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm 为方向向量的直线相交于点P ，其中，λ∈R 。则点P 的轨迹方程为_________.

三、解答题（共74分）

17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。

18.（12分）设∠A ，∠B ，∠C 是ΔABC 的三个内角。若向量

??? ??-=??? ??-+-=2cos ,8

5,2cos ),cos(1B A n B A B A m ，且m ?n=89. (1)求证：tanA ?tanB=

91； (2)求2

22sin c b a C ab -+的最大值。 19. （12分）如图2，ΔABC 的内切圆⊙I 分别切BC ，CA 于点D ，E ，直线BI 交DE 于点G 。求证：AG ⊥BG.

20．（12分）设f(x)是定义在R 上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD 的两个

顶点A ，B 在x 轴上，C ，D 在函数y=f(x)(0≤x ≤2)的图象上。求矩形ABCI 面积的最大值。

21.（12分）如图3所示，已知椭圆长轴端点A ，B ，弦EF 与AB 交于点D ，O 为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，4π=

∠FDO 。 （1）求椭圆长轴长的取值范围；

（2）若D 为椭圆的焦点，求椭圆的方程。

22．（14分）已知数列{x n }中，x 1=a, a n+1=212n

n x x +. （1）设a=tan θ??

? ??

<<20πθ，若543<x ，求θ的取值范围； （2）定义在（-1，1）内的函数f(x)，对任意x,y ∈(-1,1)，有f(x)-f(y)=???

? ??--xy y x f 1，若21)(=a f ，试求数列{f(x n )}的通项公式。

答案：

第Ⅰ卷

1．B ． M ∩Nd xOy 平面上的图形关于x 轴对称，由此，M ∩N 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M ∩N 的图形在第一象限的面积为.6

13121=- 2．C ． 过点D 作DF //CB ，过点A 作AE //BC ，联结CE ，ED ，AF ，BF ，将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为

2131?CE ?CDsin ∠ECD ?h=.2

1

3．C ． 符合要求的取球情况共有四种：

红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。

故不同的取法数为.110252312153312352513=+++C C C C C C C C C 4．A ． 左边=sinA ?cosA+sinA ?cosB+sinB ?cosA+sinB ?cosB =2

1(sin2A+sin2B)+sin(A+B) =sin(A+B)?cos(A-B)+sin(A+B),

右边=2sin(A+B).

所以，已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0.

又因为sin(A+B)>0，所以cos(A-B)=1.

故∠A=∠B 。

另一方面，∠A=∠B=300，∠C=1200也符合已知条件。

所以，ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形。

5．A ． 设g(x)的各项系数和为s ，则

f(g(1))=3s 2-s+4=188.

解得s=8或3

23-=s （舍去）。 6．B ． 22222221)1(1a b a x b x a x x x b x a ++=???

? ??-+-+=-+?21b x x +-?.)(12b a x x +≥- 当b

a a x +=时，取得最小值(a+b)2. 7．B ． 因为a 2008+

b 2008≥a

2006b 2+b 2006a 2,

又(a 2006+b 2006)(a 2+b 2)=a 2008+b

2008+a 2006b 2+b 2006a 2≤2(a 2008+b 2008),

且a 2008+b 2008=a 2006+b 2006,

所以a 2+b 2≤2. 8．C ． 如图4所示，延长AP 到E ，使得AP=

5

1AE 。 联结BE ，作ED//BA 交AC 延长线于点D 。由AC AB AP 5251+=，得AC=CD 。故四边形ABED 是平行四边形。 所以.5

1=??AB …… 此处隐藏：13486字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……