四川中考数学压轴题集锦(有答案)

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2011年四川中考压轴题集锦

1.（遂宁）如图：抛物线y ax2 4ax m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C。

⑴求抛物线的对称轴和点B的坐标；

⑵过点C作CP⊥对称轴于点P，连结BC交对称轴于点D，连结AC、BP，且

BPD BCP，求抛物线的解析式；

⑶在⑵的条件下，设抛物线的顶点为G，连结BG、CG、求 BCG的面积。

⑴对称轴是x=-

b 4a - 2 …………………2′

2a2a

∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称

∴点B(3,0) …………4′ ⑵点A（1,0），B（3,0） ∴ AB=2

∵ CP⊥对称轴于P ∴ CP∥AB

∵ 对称轴是x=2 ∴ AB∥CP且AB=CP

∴ 四边形ABPC是平行四边形 …5′ 设点C（0，x） x<0 在Rt AOC中，AC=x2 1 ∴ BP=x2 1

在Rt BOC中，BC=x2 9

BDBE1

BCBO3

1

∴ BD=x2 9

3

∵

∵ ∠BPD=∠PCB 且∠PBD=∠CBP

∴ BPD～ BCP …………………7′

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∴ BP2

BD BC

即(x2 1)2

13

x2

9 x2 9 x2

1

13

(x2

9) ∴ x1 3 x2

∵ 点C在y轴的负半轴上 ∴ 点C（0，-3）…8′ ∴ y ax2 4ax 3 ∵ 过点（1，0） ∴ a 4a 3 0 3a 3

a

3

解析式是：y

3x2 433x 3 ⑶ 当x=2时，y

3

顶点坐标G是（2，

3

3

） 设CG的解析式是：y kx b

（0， 3）（2，

3

） b ∴ 3

k

2

3∴y

23

x 3 设CG与x轴的交点为H 令y=0 则

23

3

x 0 得 x 32

…………………9′ …………………10′ 11′ …………………

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即H（

3

，0） …………………12′ 2

33

∴ BH=3 =

22S

BCG

S BHG S BHC

1313 223223

44

3 …………………13′

2

2.（绵阳）已知抛物线y＝x－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且于y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。

（1）求m的值；

（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点。如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边得直角三角形。

（1）∵ 抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，∴ △=（－2）2－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2．

（2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x2－2x + 1，易得顶点B（1，0），当 x = 0时，y = 1，得A（0，1）．

由 1 = x2－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）． 过C作x轴的垂线，垂足为D，则 CD = 1，BD = xD－xB = 1．

∴ 在Rt△CDB中，∠CBD = 45 ，BC =2．

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同理，在Rt△AOB中，AO = OB = 1，于是 ∠ABO = 45 ，AB =2．

∴ ∠ABC = 180 －∠CBD－∠ABO = 90 ，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形．

（3）由题知，抛物线C′ 的解析式为y = x2－2x －3，当 x = 0时，y =－3；当y = 0时，x =－1，或x = 3，

∴ E（－1，0），F（0，－3），即 OE = 1，OF = 3．

① 若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M． ∵ ∠P1EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90 ，

POE11M即EM = 3 P1M． ，EMOF3

∵ EM = x1 + 1，P1M = y1，∴ x1 + 1 = 3 y1． （*）

由于P1（x1，y1）在抛物线C′ 上，有 3（x12－2x1－3）= x1 + 1， ∴ ∠P1EM =∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是 整理得 3x12－7x1－10 = 0，解得 x1 =－1（舍），或x1 把x1

10

． 3

10131019

代人（*）中可解得y1 ． ∴ P1（，）．

3333

② 若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．

FNOE1

，即P2N = 3 FN． 同①，易知 Rt△EFO∽Rt△FP2N，得

P2NOF3∵ P2N = x2，FN = 3 + y2，∴ x2 = 3（3 + y2）． （**） 由于P2（x2，y2）在抛物线C′ 上，有 x2 = 3（3 + x22－2x2－3）， 整理得 3x22－7x2 = 0，解得 x2 = 0（舍），或x2 把x2

7

． 3

202077

代人（**）中可解得y2 ． ∴ P2（， ）．

3399

2010137

，）或（， ）． 3339

综上所述，满足条件的P点的坐标为（

（绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1。

BD

（1）若BD是AC的中线，如图2，求的值；

CEBD

（2）若BD是∠ABC的平分线，如图3，求

CE

BD

（3）结合（1）、（2），请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探

CEBD4

究D点的位置；若不能，请说明理由。

CE3

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解法1 设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC =2，AD = 1－x． 在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．

由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD， ∴

CECECD

， 即

1ABBD

xx 2x 2

2

，从而 CE

xx 2x 2

2

，

BD

∴ y

CE

x2 2x 2x2 2x 22

x 2，0＜x＜1，

xxx2 2x 2

（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =（2）若BD是∠ABC的角平分线，则 ∴ y

BD2

2 2 2 2． CE2 2

BD51

，得 y ． 2CE2

x2CDBC

，得 ，解得 x 2 2，

1 x1ADAB

5 BD242

∈（0，1）， x 2 ，则有 3x－10x + 6 = 0，解得 x 3CEx3

AD1 x7 1

∴ ，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐DCx6

减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．

4.（广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，

∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A

0） 2）（ 1 ，，B（ 1 ，，D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若

（3）若y

抛物线y ax bx c经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点

Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

2

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（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，

∴M（0，2），

∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），

1