初中数学竞赛平面几何中几个重要定理

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理

定理1 正弦定理

ABC中，设外接圆半径为R，则

证明:如图1-1，图1-2

过B作直径BA ，则 A A, BCA 90 ，故abc 2R sinAsinBsinCBCa sinA sinA,即 2R； 同理可得BA 2Rsin

A

ab

c 2R sinAsinBsinC

当 A为钝角时，可考虑其补角 A.

当 A为直角时，sinA 1，故无论哪种情况正弦定理成立。

定理2 余弦定理

ABC中，有关系a2 b2 c2 2bccosA

b2 a2 c2 2accosB

c2 a2 b2 2abcosC

有时也用它的等价形式

a bcosC ccosB

b acosC ccosA

c acosB bcosA

定理3 梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）

直线DEF截 ABC的边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F.则

AFBDCE 1. FBDCEA

定理4塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）

设O是 ABC内任意一点，AD,BE,CF分别交对边于D,E,F则

BDCEAF 1 DCEAFB

定理5塞瓦定理逆定理

在 ABC三边所在直线BC,CA.AB上各取一点D,E,F，若

BDCEAF 1则AD,BE,CF平行或共点。: DCEAFB

定理6 斯特瓦尔特定理

b2p c2q在 ABC中，若D是BC上一点，且BD p,DC q,AB c,AC b，则AD pq p q

2

1 / 2

定理7 托勒密定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 AB CD BC AD AC BD的充要条件是A,B,C,D四点共圆。

定理8 西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上 ABC的三边BC,CA.AB上有点P,Q,R，则AP,BQ,CR共点的充要条件是BPCQAR

PC QA RB 1。

2 / 2