北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)

a

定积分的简单应用(二)定积分在物理中应用2013-4-2

a

我们知道， 作变速直线运动的物体所经过 的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时 间区间[a,b]上的定积分,即s

b

v ( t )d ta

这节课， 我们运用定积分知识来解决物理 学中的一些路程问题.

2013-4-2

a

例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽 车在这 1 min 行驶的路程.

解:由速度──时间曲线可知:(0 ≤ t ≤ 10) 3t v t 30 (1 0 ≤ t ≤ 4 0 ) -1 .5 t 9 0( 4 0 ≤ t ≤ 6 0 )

∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:s

10 0

3 td t

40 10

30dt

60 40

( 1 .5 t 9 0 ) d t

=1350m

答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.2013-4-2

a

练习: 2 1.物体以速度 v ( t ) 3 t 2 t 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36

C

2.以初速度 4 0 mS v ( t )d t 0 0

3

3

( 3 t 2 t 3 ) d t ( t t 3 t ) |0 2 72 3 2 3

s

垂直向上抛一物体, ts

s

时刻的速度

为v

40 10t

(单位: m

),试将物体的高度表示为时

间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).

解:记物体时刻 t 的高度为 h ( t ) ,∵ h ( 0 ) ∴ h(t ) h(0 )

02

t 0

( 4 0 1 0 x )d x

= 40 x

5x

|0

t

= 40t

5t

2

2013-4-2 ∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h ( t )

40t 5t

2

a

练习: 2 1.物体以速度 v ( t ) 3 t 2 t 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36

C

变式题 1: 运动,它在第 2 秒内的路程为( (A)1 (B)3 (C)5在第 2 秒内的路程为S

物体以速度 v ( t ) 3 t 2 t 32

(m/s)作直线

D )m3

(D)72 2

2 1

3t 2t 3 dt 2

2 1

( 3 t 2 t 3 ) d t ( t t 3 t ) |1 72

m

变式题 2: 物体以速度 v ( t ) 3 t 2 t 运动,求其在前 10 秒内的平均速率.2

3

(m/s)作直线

93 m

2013-4-2

s

a

练习 2.以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时 刻的速度为 vh(t ) 40 10t

(单位: m

s

),试将物体的高2

度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)

t 0

( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t

变式题 以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为v 40 10t

(单位: m

s

),问多少秒后物体达到最

高?最大高度是多少?

4 秒时到达最高为 80m2013-4-2

a

例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:

(1)在t=4 s的位置;(2)在t=4 s运动的路程.(1) 4

(t0

2

4t 3) d t 2

4

,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3 3 1

(2)

S

1 0

( t 4 t 3) d t |

( t 4 t 3) d t | ( t 4 t 3) d t 42 2 3

4

t=4s时刻运

动的路程为4

2013-4-2

a

例3 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列 车获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车应在进站 前多长时间,以及离车站多远处开始制动?解:列车速度v0=72km/h=20m/s,设列车由开始制动 到经过t秒后的速度为v,则 , t v v0 a d t 令v=0,得t=50(s) 2 0 0 .4 t0

设列车由开始制动到停止时所走得路程为S,则S 2013-4-2

50 0

vdt 500(m )

a

练习: A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往 B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速 度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s,从C点 到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车, 经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好 停车,试求: (1)240 (m) (1)A、C间的距离; (2) B、D间的距离;(2)240 (m)(3)20+20+280=320(s)

2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.

a

能力练习: 4. A、B 两站相距 7 .2 k m ,一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1 .2 ( m 匀速直线运动),经过 t 2s2

)

,到达 C 点速度达 2 4 m

s

, 从 ，在

C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做s

后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m

s

B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.

2013-4-2

a

3.A、 两站相距 7 .2 k m , B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动),经过 t 2s2

)

,到达 C 点速度达 2 4

m s

,从 C ,在 B

点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀s

后，速度为 ( 2 4

1 .2 t 2 ) m

s

点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.

2013-4-2

a

作业：1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,需做功(A ) A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J 略解：设 F kx 则由题可得 k 1 0 0 0 .0 6 所以做功就是求定积分 0 1 0 0x d x 0 . 1 8。

说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b b点，则变力F(x) 所做的功为: W = F ( x ) dx 2013-4-2

a

a

2、物体 A 以速度 v

在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在 物体 A 的正前方 5m 处以 v 1 0 t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少？(时间单位为：s,速 度单位为：m/s) 3t2

1

解: 设 A 追上 B 时,所用的时间为 t 依题意有 S0

A

SB 5

即

t0 0

( 3 t 1)d x 22 0 0

t0 0

1 0 td x 520

∴t

3 0

t0 5 t0 52 2A

∴ t ( t 1 ) 5 ( t 1 ) , t =5(s)所以 S = 5 t 5 =130(m) 答:两物体 5s 时

相遇,相遇时物体 A 的走过的路程是 130m0 0

教学反思：2013-4-2