52定积分在几何学上的应用

52定积分在几何学上的应用

定积分在几何学上的应用平面图形的面积

体 积 平面曲线的弧长 小结

52定积分在几何学上的应用

一、平面曲线的弧长y

1. 平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上 的两个端点, 在弧上 插入分点M1

Mi

M2

M n 1

B Mn

A M0

A M 0 , M1 , M i , , M n 1 , M n B

O

x

并依次连接相邻分点得一内接折线, 当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长

| Mi 1

n

i 1

M i | 的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB

的弧长.

定理 光滑曲线弧是可求长.

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2. 直角坐标情形 设曲线弧为 y f ( x ) (a x b),其中 f ( x )y

y f ( x)

在[a, b]上有一阶连续导数.取积分变量为x, 在[a, b] 任取小区间 [ x, x dx], dy

dx

o a x x dx b 以对应小切线段的长代替小线段的长

x

小切线段的长 (dx ) 2 (dy ) 2 1 y 2 dx 弧长元素 ds 1 y dx , 弧长 s 2b a

1 y 2 dx .

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曲线y f(x)(a x b)的弧长： s 1 y 2 dx . a3 2 例 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 3 长度.

b

解 解

1 y x 2

, 从而弧长元素

ds 1 y 2 dx 1 x dx .因此, 所求弧长为

s a

b

3 3 3 2 2 1 x dx [ (1 x) 2 ]b 1 b) 2 (1 a) 2 ] . a [( 3 3

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3. 参数方程情形

x (t ) ( t ) 曲线弧为 y (t ) 其中 ( t ), ( t )在[a, b]上具有连续导数.2 2 ( t ) ( t )dt ds ( dx ) ( dy )

2

2

弧长 s

2 (t ) 2 (t )dt

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例 求星形线 x 2 3 y 2 3 a 2 3 ( a 0) 的全长.

x a cos 3 t (0 t 2 ) 解 星形线的参数方程为 3 y a sin t 对称性 s 4s1 第一象限部分的弧长

4

2

4 3a sin t cos tdt 6a .

0 2 0

2 2 ( x ) ( y ) dt

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4. 极坐标情形

曲线弧为 ( )

( )

其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.

x cos x ( ) cos y sin y ( ) sin

( )

ds (dx ) 2 (dy ) 2 2 ( ) 2 ( )d 弧长 s

2 ( ) ( )d . 2

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例

a sin ( a 求极坐标系下曲线 的长 . 3

3

0)2

(0 3 )

1 解 3a sin cos a sin cos 3 3 3 3 3 2

s

3

2 ( ) 2 ( )d 6 4 2 2

2 a sin a sin cos d 0 3 3 3 2 3 3 a sin d a . 0 2 3

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b 曲线y f(x)(a x b)的弧长： s a 1 y

2 dx .

曲线x (t)、y (t)( t )的弧长： s

2(t) 2(t)dt .

例 求摆线x a( sin ), y a(1 cos )的一拱(0 2 )的 长度. 解 弧长元素为

ds a (1 cos ) a sin d 2a sin d .2 2 2 2

于是所求弧长为

2

s 0 2a sin d 22

2a[ 2 cos ]2 8a.20

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b 曲线y f(x)(a x b)的弧长： s a 1 y 2 dx .

曲线x (t)、y (t)( t )的弧长： s 曲线 ( )( )的弧长： s

2(t) 2(t)dt .

2 ( ) 2 ( )d .

例 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的 弧长. 解 弧长元素为

ds a2 2 a2 d a 1 2 d .于是所求弧长为2 2

a s 0 a 1 d [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 ) 2 a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )] 2 . a 1 d 2

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二、平面图形的面积回忆 定积分

a f ( x )dx 的几何意义:b

b

若在 [a, b]内f ( x ) 0, 则 a f ( x )dx的 值

等于介于 y f ( x ), x a, x b与x轴之间

曲边梯形的面积.一般曲线围成区域的面积也可以 启示 用定积分来计算.

注 下面曲线均假定是连续曲线.

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1.直角坐标系中图形的面积 (1) 设在区间[a , b]上, 曲线y f ( x )位于曲线 y g( x )的上方 ,即 f ( x ) g( x ),求这两条曲线

及直线 x a , x b 所围成的区域的 面积A. 在[a, b]上任取一个小区间 [ x , x dx ], 它对应的面积元素dA为b

y

dA f ( x ) g( x ) dxA [ f ( x ) g( x )]dxa

y f ( x)

AO

a

y g( x )

xx dx b

x

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(2) 由曲线 x f ( y ), x g( y ) ( f ( y ) g( y )) 和直线 y c , y d 所围成的区域的面积A.

在[c, d ]上任取一个 小区间[ y , y dy ], 它对应的面积元素dA为dA f ( y ) g( y ) dyd

yx g( y ) y dyyd

Ax f ( y)

c O

x

A [ f ( y ) g( y )]dyc

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. 例 求由x y 0, y x 2 2 x所围成的图形面积解 画草图, 求两曲线交点的坐标以便 确定积分限, 解方程组: x y 0 交点 (0,0), ( 3,3). 2 y x 2x y

法一 选 x 为积分变量, x [0,3],面积元素 dA [x ( x 2 2 x )] dx

x y 0 ( 3,3)

( x2 3 x )dx 9 3 2 A ( x 3 x )dx . 0 2

Ax

O

x x dx

y x2 2 x

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求由x y 0, y x 2 2 x所围成的图形面积 . y 法二 选y为积分变量, y [ 1,3], 3 面积元素 dA1 [ (1 y 1 ) (1 y 1 )] dy 0 y xA 0

( 3, 3 )

1

9 3 ( 1 y 1 y ) d y 2 y 1dy 0

dA2 [ (1 y 1 ) y ] dy

A2

y x2 2x

2

O 1

A1

x

法三 将图

形看成: [0,3]上方的三角形减去在[2,3] 上方的曲边梯形, 再加上[0,2]下方的曲边梯形:A 3 3 22 2

0

9 xdx ( x 2 x )dx [0 ( x 2 x )]dx 2 0 2

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(3) 一般情况下,由曲线围成的有界区域, 总可以 分成若干块上面讨论过的那两种区域, 只要分别 算出每块的面积再相加即可.

(1)

(2)

(1) (2)