2014·新课标高考总复习·数学1-2命题及其关系、充分条

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)抓主干 双基知 能优化研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题.其中 判断为真 的语句叫做真命题， 判断为假 假命题. 的语句叫做

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二、四种命题及其关系

1.四种命题间的相互关系

2.四种命题的关系

(1)互为逆否的两个命题等价(同真或同假),因此，要证明原命题也可以只证明它的逆否命题； (2)互逆或互否的两个命题不等价.菜 单 隐 藏

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三、充分条件与必要条件 1.如果p q,则p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 . 2.如果p q,q p,则p是q的 充要条件 . [疑难关注] 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1) 对 称 性 ： 若 p 是 q 的 充 分 条 件 ， 则 q 是 p 的 必 要 条 件 . 即

“p q” “q p”;(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则 p是r的充分(必要)条件.

2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假.

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1.(课本习题改编)命题若“m2 +n2 =0,m,n∈R,则m=n=0” 的逆否命题是( )

A.若m≠n≠0,m,n∈R,则m2+n2=0 B.若m=n≠0,m,n∈R,则m2+n2≠0 C.若m≠0且n≠0,m,n∈R,则m2+n2≠0

D.若m≠0或n≠0,m,n∈R,则m2+n2≠0解析：由逆否命题的含义知交换原命题的条件与结论，并分别否 定条件与结论即可，故选D.

答案：D

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2.(2013年宁波模拟)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位), 则“a=0”是“复数z=a+bi为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

:当a=0时，z=a+bi=bi可能不是纯虚数，如b=0时；反 过来，当z=a+bi是纯虚数时，必有a=0.因此，“a=0”是“z=a+ bi是纯虚数”的必要不充分条件，选B. 答案：B

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3.(课本习题改编)|x|>2是x>3的(

)

A.充分不必要条件C.充分必要条件

B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：|x|>2 x>2或x<-2,故x>3 |x|>2,反之不一定成立，故 选B. 答案：B 4.(2013年北京东城质检)“x<2”是“x2 -x-2<0”的________条 件. 解析：∵x2-x-2<0,即-1<x<2,∴“x<2”是“x2-x-2<0”的 必要不充分条件. 答案：必要不充分

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5.(2013年厦门模拟)有下列四个命题： ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆命题； ④“若A∪B=B,则A B”的逆否命题. 其中真命题有________.(写出所有真命题的序号)

解析：①正确，②③④错误.答案：①

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考向一 四种命题及其关系 π [例 1] (2012 年高考湖南卷)命题“若 α= , tan α=1”的逆否命 则 4 题是( )

π A.若 α≠4,则 tan α≠1 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α≠1,则 α=4菜 单 隐 藏

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[解析] 根据原命题与其逆否命题的关系求解. 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是： tan 若 π α≠1,则 α≠4.[答案] C

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1.(2013年济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命 题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直

线l1 :a1x+b1y+c1 =0,l2 :a2x+b2y+c2 =0平行，则a1b2 -a2b1 =0”.那么f(p)=( A.1 ) B.2

C.3

D.4

解析：若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0与l2:a2x+b2y+c2=0平行， 则必有a1b2-a2b1=0,但当a1b2-a2b1=0时，直线l1与l2不一定平

行，

还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式(原命 题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)=2.

答案：B菜 单 隐 藏

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考向二 [例2]

充分条件和必要条件的判定 (2012年高考浙江卷)设a∈R,则“a=1”是“直线l1 :ax )

+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

[解析] 先求出两条直线平行的充要条件，再判断.若直线l1与l2平行，则a(a+1)-2×1=0,即a=-2或a=1,所以a =1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.

[答案] A

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2.(2013年北京西城模拟)已知a,b∈R,下列四个条件中，使 a>b成立的必要而不充分的条件是( A.a>b-1 C.|a|>|b| B.a>b+1 D.2a>2b )

解析：由a>b a>b-1,但由a>b-1不能得出a>b,∴a>b-1是

a>b成立的必要而不充分条件；由a>b+1 a>b,但由a>b不能得出a>b+1,∴a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件； …… 此处隐藏：2856字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……